【初中数学】50道经典几何难题精选.docx

初中数学(50道)经典几何难题精选(含解答)第一题：

已知：△ABC外接于⊙0,∠BAC=60°,AE⊥BC,CF⊥AB,AE、CF相交于点H,点D为弧BC的中点，连接HD、AD。求证：△AHD为等腰三角形

简证：易证∠BHC=120°,∠BOC=120°,∴B、H、

O、C四点共圆。

DB=DO=DC,∴DH=DO=0A,又AH//OD,∴

AHDO是菱形

∴AH=HD,△AHD为等腰三角形。

第二题：

如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF,延长AF交AC的平行线DE于点E,连接CE,且AC=AE。求证：CE=CF

简证：作点E关于AD对称点G,则DE⊥DG△CDG≌△ADE,△ACG是等边三角形。

∠GAC=60°,∠DAF=15°,∠CEF=30°,∠DEF=80°,∠CFE=80°,

∴△CEF是等腰三角形。CE=CF。

第三题：

已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=20°,∠BDC=30°。

求证：AD=BC

简证：以AD为边作正三角形ADE(如图)

易知△ABC≌△CAE∴AD=AE=BC。

第四题：

已知：△ABC中，D为AC边的中点，∠A=3∠C,∠ADB=45°。求证：AB⊥BC

简证：过D作DE⊥AC交BC于E由已知得AE=EC,∠EAD=∠C

又∠A=3∠C,∴∠BAE=∠BEA

BA=BE,由∠ADB=45°得∠EDB=45°

∴A、D、E、B四点共圆，∠ABE=∠ADE=

90°

即AB⊥BC。

第五题：

如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E,∠BAC=50°,∠ABD=60°,

∠CBD=20°,∠CAD=30°,∠ADB=40°。求∠ACD。

解：设AD、BC交于点F,过D作DG//AB

交BF于点G,AG交BD于H。则

△ABF是等腰三角形，A、B、G、D四点共圆。

∠DAG=∠DBG=20°,∴∠BAG=60°∠BDG=∠BAG=60°,∠AGD=∠ABD

=60°∴△GHD是等边三角形。△ABH是等边三角形

BH=AB=BC,∴∠BHC=80°,∴∠CHG

=40°

∴∠HGC=40°,∴HC=GC,∴△HCD≌△GCD

∴∠HDC=30°,∴∠ACD=80°。

第六题：

已知，∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC。

简证：以AB为边向外作正三角形ABE

则BC⊥BE,BE2+BC2=CE2

易证△DAB≌△CAE,BD=CE于是AB2+BC2=BD2。

求证：AB2+BC2=BD2

第七题：

如图，PC切◎O于C,AC为圆的直径，PEF为OO的割线，AE、AF与直线PO相

交于B、D。求证：四边形ABCD为平行四边形证明：过C作CG⊥PO于G,

则由∠AEC=∠PGC=90°得

E、B、G、C四点共圆

同理F、D、G、C四点共圆

PC是⊙0切线，PC2=PE·PF

在RT△PCO中，PC2=PG·PO∴PE·PF=PG·PO,

∴E、G、O、F四点共圆。∴∠OGF

=∠OEF,∠BGE=∠OEF,∴∠OGF=∠BGE

又CG⊥PO得∠EGC=∠FGC,∠EGF=∠EOF=2∠EAF,∴∠EGC=∠FGC=∠EAF

又∠EGC=∠EBC,∠FGC=∠FDC,∴∠EBC=∠FDC=∠EAF∴AF//BC,AE//CD,∴四边形ABCD是平行四边形。

第八题：

已知：在△ABC中，AB=AC,∠A=80°,∠OBC=10°,∠OCA=20°。

求证：AB=OB

简证：延长CO交AB于D,以OC为边作正三角形OCE(如图)

易知AC=DC,BD=OD,OC=AD

△ACE≌△CAD,△ACO≌△AEO,

∴∠BAO=70°,∠ABO=40°∴∠BOA=70°,∴AB=OB。

第九题：

已知：正方形ABCD中，∠OAD=∠ODA=15°,求证：△OBC为正三角形。

简证：以BC为边作正三角形BCO′(如图),

则AB=O′B,∠ABO′=30°,∴∠BAO′=75°,∠DAO′=15°

同理∠ADO′=15°

于是△ADO′≌△ADO

∴0与O′重合

∴△OBC是正三角形。

第十题：

已知：正方形ABCD中，E、F为AD、