精品解析：北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷（原卷版）.docxVIP

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北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为

A. B. C. D.

3.已知非零向量,不共线，且，则向量

A. B.

C. D.

4.如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（）．

A5千米 B.千米 C.4千米 D.千米

5.设为平面向量，则“存在实数，使得”是“”的（）

A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.如图，四棱锥的底面是梯形，，若平面平面，则

A. B. C.与直线相交 D.与直线相交

7.如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则（）

A. B.

C. D.

8.在中，，则BC边上的中线长为（）

A. B. C. D.

9.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）

A. B. C. D.

10.我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（）

A. B.

C. D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.已知复数的实部和虚部相等，且，则__________.

12.已知，是两个不共线的向量，，若与共线，则________．

13.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.

14.已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为__________.

15.已知单位向量夹角为，且（其中).当时，__________；当时，的最小值是__________.

16.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面面积等于；

②截面是一个五边形；

③直线PC与截面所在平面EFH无公共点．

其中，所有正确结论序号是_____．

三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．

（1）求角的大小；

（2）求的面积．

18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

19.在中，.

（1）求;

（2）除上述条件外，同时满足____________，求的值;

请从①，②，③中选择一个符合题意条件，补充到上面问题中，并完成解答.

（3）求面积的最大值.

20.如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.

（1）求证：；

（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；

（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

21.元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．

（1）设，解决下面问题：

①求；

②设与的夹角为，求；

（2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．