必威体育精装版全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容资料.pdf

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全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容

一、平面几何

1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--

重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。

二、代数

1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负

最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

三、立体几何

1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。3、体积证法。4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何

1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。5、圆的幂和根轴。

五、其它

抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。

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数学竞赛中涉及的重要定理

1、第二数学归纳法：

有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n＝1时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n来说都

成立。

2、棣美弗定理：

设复数z=r(cosθ+isin，其θ)n次方z^n=r^n(cos(nθ)+isin(n，其中θ))n为正整数。

3、无穷递降法：

证明方程无解的一种方法。其步骤为：

假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

4、同余：

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(modm)，

读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。比如26≡14(mod12)

【定义】设ｍ是大于1的正整数，a,b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(modm),读作

a同余于b模m.。有如下事实：

(1)若a≡0(modm)，则m|a；(2)a≡b(modm)等价于a与b分别用m去除，余数相同.

5、欧几里得除法：

即辗转相除法。详见高中数学课标人教B版必修三

6、完全剩余类：

从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。例如，

一个数除以