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固体力学计算方法的发展

孙秀山岑章志刘应华

（北京大学工程力学系,北京100084）

摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体

力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依

据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。文中分析

了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影

响，最后总结了这些方法之间的关系。

关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系

1引言

固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种

外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是

[1]

力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支。固体力学的发展首先是建立在弹性

理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定

理论等得到了进一步的发展[2,3]

。在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限

个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、

应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。这样，对于一个确定的固体力学问题，借助

于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初

值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依

曼（Neumann）边值问题。对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发

展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。

从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致

经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，

其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。在这些方法的发展中，尤以计算机技术

的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论

研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4,5]

。另一方面，随着计算方法的不断改

进和完善，以有限单元法为代表的现代数值方法不仅把固体力学的应用广泛推向了诸如航

空、土木、机械等工程领域，而且也把诸如固体力学、一般力学、流体力学等诸多力学分支

的问题的求解统一在一个框架体系内[6]

。计算方法的成熟及其工程应用的成功，促成了计算

固体力学的诞生，这一学科成为计算力学学科的一个重要组成部分。在今后的几十年中，计

算固体力学很可能将突破经典力学的框架，继而渗入到诸如量子力学、分子动力学、材料科

学、生物力学等领域中，形成新的交叉学科[7]

。

在以下的几节里，将分别讨论不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，

并分析这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后一节将对本文做一小节。

100

2传统解析方法

传统的解析方法是固体力学发展初期所采用的一种计算求解方法，这一方法所解决的主

要是一些简单的弹性力学问题、稳定问题以及后来出现极少的塑性力学问题。除了少数简单

问题可以由基本方程和边界条件直接求出解函数之外，多数能求得解析解的问题往往借助于

一些专门的数学手段和工具，具有代表性的包括应力函数法、试凑法（反逆和和半逆法）以

及复变函数法等。

2.1应力函数法

艾雷（Airy,G.B.）在1862年发表的一篇有关矩形截面梁的截面应力分布问题的论文中

首次用到了应力函数[8]

。虽然艾雷的研究并不完全，但他开创了求解弹性问题的应力函数方

法。随后麦克斯维（Maxwell,J.C.）在1890年改进了这一方法，建立了求解应力函数的微