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四年级奥数讲义：容斥原理(1)

四年级数学讲义

奥数：容斥原理(1)

教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。

3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接

二、教学内容

（一）知识介绍

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含

时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有

性质a或性质b的事物的个数=N＋N－N。

abab

NaNabNb

（二）例题精讲

例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数

学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语

文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人

数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有

15人。问多少个同学两题都答得不对？

【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10

人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答

对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，

那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求

两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

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四年级奥数讲义：容斥原理(1)

例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有

100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍

数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍

数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。

例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年

级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少

幅？

【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、

四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品

数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，

再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。

三、教学练习

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的

有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？