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第五章三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）
教学设计
一、教学目标
1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据定义进行简单的拓展.
2.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
二、教学重难点
1、教学重点
对周期函数概念的理解和运用
2、教学难点
探究函数的周期
三、教学过程
1、新课导入
观察正弦函数的图象，回答下列问题
问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？相同
问题2：正弦曲线具有什么特点？“周而复始”，每隔2π就重复一次.
问题3：余弦函数是否也具有上述特点？是
自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理中的单摆运动，弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.
2、探索新知
周期性
定义1：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函
数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个.例如，以及都是正弦函数的周期.事实上，且，常数都是它的周期.
定义2：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
（今后涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）
从图像上，我们有：
正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.同理，余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.
例2求下列函数的周期
（1）
（2）；
（3）.
教师板演（1）（2），规范解题步骤，让学生利用三角函数的周期性，通过代数变形得到等式来求得相应周期.
解：（1）由周期函数的定义可知，的周期为.
（2）令的周期为，即
于是所以，由周期函数的定义知，的周期为.
学生独立完成（3），教师评价.
（3）令，由得，且的周期为，即
，于是，所以
.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
思考：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
从例2中可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关.
本例是利用求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系.
在中，是相对于自变量而言的.
一般地，函数及（其中，）的周期为.
奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看出正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称.这个事实，也可由诱导公式得到.
所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
思考：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
对于一个周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了.
同样，对于一个偶函数，如果我们把握了它的对称轴一侧的情况，那么对称轴另一侧的情况也就把握了.
3、课堂练习
1.已知函数，则是()
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】，，
，
是最小正周期为π的偶函数，故选B.
四、板书设计
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）
1.周期函数、周期性的概念
2.正弦函数、余弦函数的周期性
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
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