NBA赛程安排的数学模型与分析.pdf

赛程安排的数学模型与分析赛程安排的数学模型与分析

1．前言

n支球队在同一场地上进行单循环赛有多种赛程安排，问题是如何编制符合公平性的赛程，数学上这是一

个满足一定指标要求的配对排序问题。

本文在合理假设的基础上，由问题的数学实质，建立出问题的线性规划模型；由问题的特殊性将n分为

偶数与奇数分别研究，获得关于各队每两场比赛之间相隔场次数上限的一般公式，用构造性方法加以证明；运用

归纳的方法发现了这种特殊排序中的对称规律，由此设计出符合上限要求的计算机算法与实际人工编制法。文中

对赛程优劣的评价指标也作了较多的探讨。

本文一个特点是，分析研究迄今体育界实际使用的赛程“循环编制法”，发现其对n为奇数时编制的赛程公

平性差，给出了一种n为奇数时编制简便、结果合理的人工编制法。

2．问题的提出

你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行1010场比赛.如何安排赛程使

对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程:记5支球队为A,B,C,D,E，在下表左半部分的右上三

角的10个空格中,随手填上1,2,10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,,第10场C对E.为

方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.

这个赛程的公平性如何呢,不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表的右半部分是各队每两

场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则不公平.

ABCDE每两场比赛间相隔场次数

AX19361,2,2

B1X2580,2,2

C92X7104,1,0

D357X40,0,1

E68104X1,1,1

从上面的例子出发讨论以下问题:

1)对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.

2)当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.

3)在达到2)的上限的条件下,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程.

4)除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3)中

给出的赛程达到这些指标的程度.

赛程安排直接影响比赛的公平性，如何建立衡量一个赛程的优劣的指标，建立编制公平合理的排列问题的数

学研究，也有数学意义。

3．基本假设（1）设n支参赛队在同一场地上进行单循环赛。（2）假设赛程的公平性只与赛程安排有关，而

与裁判等其它因素无关。（3）在假设（2）下赛程的公平性就是指各队每两场比赛中间得到休整时间均等性，其

中“每队每两场比赛”限定为指“每队每相邻两场比赛”。（4）假设任相邻两场比赛之间间隔时间相同。

4．建立模型

4.1符号说明

n参赛队数

N比赛场数

M赛程总共安排数

aj队与k队比赛场次序号数

jk

Pt队与j队及k队两场比赛间最小相隔场次数

jkt

(I,j)第i队与第j队比赛

e各队在全部赛程中间隔场次数

d各队每两场比赛中间相隔场次数的上限

di第i赛程各队每两场比赛间相隔最小场次数

4.2问题分析在假设（1）下，即n个队在同～场地进何单循环赛共有M