平面向量的数量积说课稿.pdf

.

《平面向量的数量积及运算律》

一教材分析

1教材地位及其作用

本节选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修第4册第二章第5

节第一课时，两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一

种新的乘法，它区别于数的乘法．这节内容是整个向量部分的重要内容

之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习，具有承上启

下的作用。

2教学目标

根据课程标准,教材内容，学生认知水平，确定

知识目标：理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和运算律。

能力目标：通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过

程和运用过程，培养学生的科学思维习惯。

情感目标：让学生在类比、观察、探究、发现中学习，体验学习的乐趣，

增强自信心，树立积极的学习态度。

3教学重点与难点

根据以上对教材、教学目标的分析，确定如下教学重点和难点：

重点：平面向量数量积定义及运算律的理解

难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应

用。

二教法分析

本节课主要采用引导发现法，通过物理情景中功的概念抽象出向量数量

;.

.

积的定义，再引导学生探究其几何意义和运算律，与讲授法，讨论法，

练习法等相结合

三学法分析

本节课在学法上，主要采用类比法，通过物理情景中功的概念来理解向

量数量积的物理意义，进而理解其几何意义。再通过实数的运算律类比

发现向量数量积的运算律，同时结合例题讲解和练习巩固。

四教学过程分析

1问题情景

如图所示，一个力F作用于一个物体，使该物体发生了位移S，如何计

算这个力所做的功．

设计意图：通过物理实例引出向量数量积的定义，为以后理解向量数量

积打下基础。

2建立模型

（1）引导学生从“功”的模型中得到如下概念：

已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内

积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cos

θ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

规定0与任一向量的数量积为０．

由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．

说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，

其中0≤θ≤π．当θ＝π/2时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起

见，a与b的夹角记作〈a，b〉．

;.

.

（2）引导学生思考讨论数量积的性质

①设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．

②设a·b是非零向量，则a⊥ba·b＝0．

③a·a＝｜a｜，于是｜a｜＝

④cos〈a，b〉＝

⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

设计意图：加深对定义的理解和便于以后灵活应用

3向量数量积的运算律

回忆实数的运算律，让学生类比和归纳出向量数量积的一些运算律？讨

论它们是否成立。

已知：向量a，b，c和λ∈R，则

（1）a·b＝b·a（交换律）．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）

(1)(2)学生板书证明，（3）老师讲解证明

思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？

（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？

4例题讲解

(1)已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．

(2)已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：a·ｂ．