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《线性代数》某班学委的题型分析
线性代数其实是一门很简单的课,和概率论差不多,而且它的主轴只有一个,那就是矩阵,一切都可以变成矩阵,然后经过初等变换再根据题目进行不同的处理,这样说可能比拟模糊,各位就从下面的题型中慢慢领会吧。
题型一:矩阵的简单性质
矩阵有一些小性质需要我们记忆一下,这种题型主要是在选择题第一题出现的,具体是哪些性质我们就从题目中了解就可以了,还算挺简单的一个点。下面列出一些年份选择题的第一题。
〔2014年一、1〕例一:设A,B是任意的n阶方阵,以下命题中正确的选项是〔〕
A. B.
C. D.
〔2013年一、1〕例二:设A、B为同阶方阵,以下等式中恒正确的选项是〔〕
A.
B.
C.
D.
〔2010年一、1〕例三:设阶方阵,那么必有〔〕
(A)
(B)
(C)
(D)
理论上来说,这些题应该要秒杀掉,请记住下面的一些性质:
AB≠BA
AE=EA
,
有了这五点其实就可以做题了,我们拿例一开刀。你看A、B、C,貌似都跟这四点没有关系,但其实是用到了〔1〕的,先看A,把像常数那样展开,,请看,AB和BA是不相等的,所以它们不能合并成2AB。再看B,也是像常数那样展开,,AB和BA又是不相等,所以不能消去。然后是C,继续像常数那样展开,,你这时候就千万别说AE和EA是不一样的啦,看第〔2〕点,AE是等于EA,这可以算是〔1〕的特例,你可以理解为因为E是单位阵,所以可以随便变换自己的位置,如果不理解就记住就好了。所以(题目只是换了一下位置就得出了C,如果C选项是“”也是对的哦)。那么D为什么不选呢?很简单,因为它没有出现在这五点中,而且我们已经得到C是正确答案了。带着这样的思路,你可以去试试剩下的两道题。请注意,如果选项违背了这四点肯定就是错的了,但是有可能会出现不在这四点的选项,这些选项就不一定错,可能先保存该选项再排除。
题型二:秩、根底解系与矩阵列数的关系
非常简单,因为记住一个公式就行:
设A为一个矩阵,那么A的秩+根底解系所含向量个数=A的列数
这种题只出现在2014年和2012年,算是较小众但是容易掌握的题,来看看2014年的。
〔2014一、2〕例六:设A是矩阵,r(A)=2,方程组的根底解系中所含向量的个数是〔〕
A.1 B.2 C.3 D.4
看,一下子就出来了,r(A)就是A的秩,6是A的列数,所以根底解系所含向量个数为6-2=4。选D。至于什么是秩?什么是根底解系所含向量?我们后面再慢慢道来,这道题你要做的只是找到“秩”“根底解系所含向量”这些关键词然后代公式就行。
题型三:行列式化简计算
〔2014年二、9〕例七:设均为阶方阵,且那么____________________.
又是记公式就可以的题型,主要出现在填空题,貌似有一年老师脑子进水了居然放到大题那里去了,那个时候你就欢呼吧。公式只有三个,都是很简单而且很好理解的:
〔1〕
〔2〕如果A为n阶方阵,那么
〔3〕〔你不用知道是什么,当它是一个不同于A的矩阵就好〕
第一点第二点没什么好说的,一般都是直接代数,而且都是从等号左边到等号右边的。需要讲一下的是第三点,从第三点可以推导出一些公式,例如〔这个就是把A移过等号右边去而已〕、〔这个证明略复杂,可以直接记住〕、〔这个可以从推导出来,但是略复杂,可以直接记住,但要注意和区分开来〕。OK,马上来看题。我把整道题的详细化简过程写出来你就明白了。
下面我对有必要说明的等号进行解释。
第一个等号,使用了;第四个等号,使用了拆分了〔本质上也是两个矩阵相乘〕;第五个等号,使用了;第六个等号,使用了把和都转换了。最终代数,得出结果。
为了让各位更熟悉这种题目的思维走向,我们再来看一题。
〔2013年二、10〕例八:设A为n阶方阵,且2那么_____________.
我继续列出详细步骤:
继续对有必要说明的等号进行解释:
第一个等号,使用了;第五个等号,使用了;第六个等号使用了。最终代数,得出结果。
实际上你也可以看到我的思维的流向,一开始我都是从转化为下手的,然后合并所有的项,最后使用把|A|的值代进去就可以了。
我们再来看另一道题:
〔2010年一、4〕例九:设A为3阶矩阵,为A的伴随矩阵,A的行列式|A|=2,那么=〔〕
(A)
(B)
(C)
(D)
这里就会用到了,详细步骤如下:
,选A。貌似这道题的给出的答案是错的?
题型四:正定二次型的判定
〔2014年二、10〕例十:二次型为正定的,那么的取值范围是_______.
当你接到一个二次型时,你要很敏感地反响出来,这一串东西可以画出一个矩阵!而且题目肯定会用得到这个矩阵
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