线性代数-题型分析.doc

《线性代数》某班学委的题型分析

线性代数其实是一门很简单的课，和概率论差不多，而且它的主轴只有一个，那就是矩阵，一切都可以变成矩阵，然后经过初等变换再根据题目进行不同的处理，这样说可能比拟模糊，各位就从下面的题型中慢慢领会吧。

题型一：矩阵的简单性质

矩阵有一些小性质需要我们记忆一下，这种题型主要是在选择题第一题出现的，具体是哪些性质我们就从题目中了解就可以了，还算挺简单的一个点。下面列出一些年份选择题的第一题。

〔2014年一、1〕例一：设A,B是任意的n阶方阵，以下命题中正确的选项是〔〕

A. B.

C. D.

〔2013年一、1〕例二：设A、B为同阶方阵，以下等式中恒正确的选项是〔〕

A．

B．

C．

D．

〔2010年一、1〕例三：设阶方阵，那么必有〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

理论上来说，这些题应该要秒杀掉，请记住下面的一些性质：

AB≠BA

AE=EA

，

有了这五点其实就可以做题了，我们拿例一开刀。你看A、B、C，貌似都跟这四点没有关系，但其实是用到了〔1〕的，先看A，把像常数那样展开，，请看，AB和BA是不相等的，所以它们不能合并成2AB。再看B，也是像常数那样展开，，AB和BA又是不相等，所以不能消去。然后是C，继续像常数那样展开，，你这时候就千万别说AE和EA是不一样的啦，看第〔2〕点，AE是等于EA，这可以算是〔1〕的特例，你可以理解为因为E是单位阵，所以可以随便变换自己的位置，如果不理解就记住就好了。所以(题目只是换了一下位置就得出了C，如果C选项是“”也是对的哦)。那么D为什么不选呢？很简单，因为它没有出现在这五点中，而且我们已经得到C是正确答案了。带着这样的思路，你可以去试试剩下的两道题。请注意，如果选项违背了这四点肯定就是错的了，但是有可能会出现不在这四点的选项，这些选项就不一定错，可能先保存该选项再排除。

题型二：秩、根底解系与矩阵列数的关系

非常简单，因为记住一个公式就行：

设A为一个矩阵，那么A的秩+根底解系所含向量个数=A的列数

这种题只出现在2014年和2012年，算是较小众但是容易掌握的题，来看看2014年的。

〔2014一、2〕例六：设A是矩阵，r(A)=2，方程组的根底解系中所含向量的个数是〔〕

A．1 B．2 C．3 D．4

看，一下子就出来了，r(A)就是A的秩，6是A的列数，所以根底解系所含向量个数为6-2=4。选D。至于什么是秩？什么是根底解系所含向量？我们后面再慢慢道来，这道题你要做的只是找到“秩”“根底解系所含向量”这些关键词然后代公式就行。

题型三：行列式化简计算

〔2014年二、9〕例七：设均为阶方阵,且那么____________________.

又是记公式就可以的题型，主要出现在填空题，貌似有一年老师脑子进水了居然放到大题那里去了，那个时候你就欢呼吧。公式只有三个，都是很简单而且很好理解的：

〔1〕

〔2〕如果A为n阶方阵，那么

〔3〕〔你不用知道是什么，当它是一个不同于A的矩阵就好〕

第一点第二点没什么好说的，一般都是直接代数，而且都是从等号左边到等号右边的。需要讲一下的是第三点，从第三点可以推导出一些公式，例如〔这个就是把A移过等号右边去而已〕、〔这个证明略复杂，可以直接记住〕、〔这个可以从推导出来，但是略复杂，可以直接记住，但要注意和区分开来〕。OK，马上来看题。我把整道题的详细化简过程写出来你就明白了。

下面我对有必要说明的等号进行解释。

第一个等号，使用了；第四个等号，使用了拆分了〔本质上也是两个矩阵相乘〕；第五个等号，使用了；第六个等号，使用了把和都转换了。最终代数，得出结果。

为了让各位更熟悉这种题目的思维走向，我们再来看一题。

〔2013年二、10〕例八：设A为n阶方阵，且2那么_____________.

我继续列出详细步骤：

继续对有必要说明的等号进行解释：

第一个等号，使用了；第五个等号，使用了；第六个等号使用了。最终代数，得出结果。

实际上你也可以看到我的思维的流向，一开始我都是从转化为下手的，然后合并所有的项，最后使用把|A|的值代进去就可以了。

我们再来看另一道题：

〔2010年一、4〕例九：设A为3阶矩阵，为A的伴随矩阵，A的行列式|A|=2，那么=〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

这里就会用到了，详细步骤如下：

，选A。貌似这道题的给出的答案是错的？

题型四：正定二次型的判定

〔2014年二、10〕例十：二次型为正定的,那么的取值范围是_______.

当你接到一个二次型时，你要很敏感地反响出来，这一串东西可以画出一个矩阵！而且题目肯定会用得到这个矩阵