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第三章函数的概念与性质(题型清单)
01思维导图
01思维导图
02
02知识速记
知识点01:函数的概念
一般地,设,是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数(function),记作,.其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
知识点02:求函数解析式
1、待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数,反比例等),可用待定系数法.
2、换元法:主要用于解决已知这类复合函数的解析式,求函数的解析式的问题,在使用换元法时特别注意,换元必换范围.
3、配凑法:由已知条件,可将改写成关于的表达式,
4、方程组(消去)法:主要解决已知与、、……的方程,求解析式。
知识点03:函数的单调性
1.1增函数
一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,
那么就称函数在区间上单调递增.(如图:图象从左到右是上升的)
特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,称它是增函数(increasingfunction).
1.2减函数
一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,
那么就称函数在区间上是单调递减.(如图:图象从左到右是下降的)
特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,称它是减函数(decreasingfunction).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做的单调区间.
知识点04:函数的最大(小)值
1、最大值:对于函数,其定义域为,如果存在实数满足:
①,都有
②,使得
那么称是函数的最大值;
2、最小值:对于函数,其定义域为,如果存在实数满足:
①,都有
②,使得
那么称是函数的最小值;
知识点05:复合函数的单调性(同增异减)
一般地,对于复合函数,单调性如下表示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数:
:令:和
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
知识点06:函数的奇偶性
1、定义:
1.1偶函数:一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数.
1.2奇函数:一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数.
1.3判断函数的奇偶性:
,在它们的公共定义域上有下面的结论:
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
知识点07一:幂函数的概念
1、定义:一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
知识点08:幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象)
当时,我们得到五个幂函数:
;;;;
2、五个幂函数的性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在单调递增
在上单调递增
在单调递增
在上单调递减
在上单调递减
定点
03
03题型归纳
题型一函数的定义域
例题1.(23-24高一上·四川乐山·期中)函数定义域为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据解析式有意义列式计算即可.
【详解】由题知,解得,
所以函数的定义域为.
故选:B.
例题2.(23-24高一上·上海·期末)函数的定义域为区间,则函数的定义域为.
【答案】
【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案.
【详解】因为函数的定义域为区间,所以,
令,解得,所以函数的定义域为.
故答案为:
例题3.(23-24高一上·江西新余·期中)若已知函数定义域为,则实数的取值范围是.
【答案】
【分析】由题意可得对任意恒成立,结合二次函数的性质求解即可.
【详解】解:由题意可得对任意恒成立,
所以,
解得,
所以实数取值范围是.
故答案为:
巩固训练
1.(23-24高一上·江苏苏州·阶段练习)函数的定义域为,函数,则的定义域为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据复合函数定义域的性质,结合二次根式的性质,分母不为零的性质进行求解即可.
【详解】由函数的定义域为,可得
函数的定义域为,函数,
可得
解得,
所以函数定义域为.
故选:D.
2.(23-24高二下·江苏南京·期末)若函数的定义域为,则实数的取值范围是.
【答案】
【分析】利
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