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M/G/1型排队系统分析与仿真

一、排队系统

排队论(queuingtheory),或称随机服务系统理论,是通过对服务对象到来及服

务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统

计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服

务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是

数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用

于计算机网络,生产,运输,库存等各项资源共享的随机服务系统。排队论研究的

内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数

量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系

统，使之发挥最佳效益。

一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，

按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务

后就离开。排队过程的一般过程可用下图表示。我们所说的排队系统就是指图中虚

线所包括的部分。排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）

构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机

的。描述一个排队系统一般需要分析其三个组成部分：输入过程、排队规则和服务

机构。

顾客到来顾客离去

顾客源排队服务机构

排队规则服务规则

图1

输入过程

输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数

或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，

在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班

1

机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一

定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为

或相继到达的顾客的间隔时间T服从负指数分布，即

式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。

在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。

排队规则

排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都

被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以

是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务（如医院接待急救病

人）。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因

留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种

排队规则就是混合制。

服务机构

可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列

的。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆

汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v则服从

一定的随机分布。如果服从负指数分布，则其分布函数是

式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。

二、M/G/1型排队系统

1、问题描述

经典的M/G/1型排队系统

(1)到达过程的特征，M表示无记忆的泊松过程，计到达率为；

(2)服务时间的概率表示为G，即一般随机分布，各位顾客的服务时间任意且

、、……之间相互独立，有相同的分布函数B(t)，

，

2

服务时间均值，方差；

(3)服务台的数目为1，到达过程与服务过程相互独立；

(4)经典系统讨论