2006年数学奥林匹克夏令营讲座：代数变换代数变形的方法与技巧.pdf

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2006年数学奥林匹克夏令营讲座

代数变换、代数变形的方法与技巧

蔡玉书

1.将一些结构各异的式子看成一个整体，用一个字母或用另外的式、量来替换表示，易于使复

杂问题明朗化、简单化。这种解决问题的方法叫做替换法。

(1)整式替换

4242

例1分解因式(x+x－4)(x+x+3)+10.(第12届“五羊杯”竞赛题)

2222

例2已知x,y是正整数，并且xy+x+y=23,xy+xy=120,则x+y.(2001年全国初中联赛)

33

例3已知实数a,b满足a+b+3ab=1,则a+b.(2004年全国初中联赛)

(2)分式替换

xx

例4已知关于x的方程(a2－1)()2－(2a+7)()+1=0有实数根.

x－1x－1

①求a的取值范围；

xx3

②若原方程的两个实数根为②若原方程的两个实数根为x,x，且1+2,求a的值.

12x－1x－111

12

(3)根式替换

9999

aa2a3a8

例5计算+++…+.(第16届“五羊杯”竞赛题)

9999

238

a+aa+aa+aa+a

(4)常值替换

例6证明1997×1998×1999×2000+1是一个整数的平方，并求出这个整数.

(1997年安徽省数学竞赛)

44444

(7+64)(15+64)(23+64)(31+64)(39+64)

例7计算.(第9届华罗庚金杯赛)

44444

(3+64)(11+64)(19+64)(27+64)(35+64)

11111111

例8计算1+++1+++1+++…+1++.(第9届华罗庚金杯赛)

1222222232422003220042

2.代数式的恒等变形包括整体代入、因式分解、