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河南省信阳市浉河区信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，则集合（????）

A． B．

C． D．

2．若复数，则（????）

A． B． C． D．

3．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（????）

A． B． C． D．

4．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

5．在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（????）

A． B．

C． D．

6．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（）

A． B． C． D．2

7．已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（????）

A．9 B．12 C．14 D．16

8．在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，则（?????）

A． B．

C．二项式系数和为256 D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．的值域为

B．的对称中心为，

C．在上的单减区间为

D．在上的极值点个数为1

11．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（????）

A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为

B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为

C．经过6次试验后试验停止的概率为

D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大

三、填空题

12．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，以O为球心的球，被底面所截得的圆的半径为1，则球O的半径为．

13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值.

14．设函数的定义域为R，且，，则．

四、解答题

15．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

16．如图1，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示），

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.

17．乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军．在2024年3月举行的乒乓球新加坡大满贯赛事中中国乒乓球选手获得了全部项目的冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10:10平后．发球权的次序仍然不变．但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．

(1)已知某局比赛甲先发球，求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；

(2)已知第一局目前比分为10:10．

①求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

②求第一局比赛甲获胜的概率．

18．已知椭圆经过点，且焦距为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、，点为椭圆上异于A、的动点，设交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为．

①求的值；

②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．

19．已知函数，若存在实数，使得，则称与gx为“互补函数”，为“互补数”.

(1)判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由.

(2)已知函数为“互补函数”，且为“互补数”.

（i）是否存在，使得？说明理由.

（ii）若，用的代数式表示的最大值.

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参考答案：

1．D

【分析】先化简，再求出，进而利用交集概念求出结果即可.

【详解】解：因为，

因为，所以，

所以.

故选：D

2．C

【分析】整理可得，结合复数的模长公式