新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）11 导数中的不等式证明问题（原卷版）.doc

培优专题11导数中的不等式证明问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、不等式的证明

证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：

(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.

②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.

(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；

(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)ming(x)max恒成立．从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．

【常用结论】

1.破解含双参不等式证明题的3个关键点

（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.

（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.

（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式SKIPIF10等常见形式

2.常见不等式（大题使用需要证明）

①SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10

②SKIPIF10，SKIPIF10；SKIPIF10；SKIPIF10

③SKIPIF10；SKIPIF10；SKIPIF10

④SKIPIF10；SKIPIF10

⑤SKIPIF10；SKIPIF10

⑥SKIPIF10；SKIPIF10；SKIPIF10，SKIPIF10

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】已知函数SKIPIF10.

（1）讨论SKIPIF10的单调性；

（2）当SKIPIF10时，证明SKIPIF10

【典例2】SKIPIF10求证：当SKIPIF10时，SKIPIF10

【典例3】已知函数SKIPIF10，SKIPIF10．

（1）讨论函数SKIPIF10的单调性；

（2）若SKIPIF10、SKIPIF10为函数SKIPIF10的两个极值点，证明：SKIPIF10．

【题型训练1-刷真题】

一、解答题

1．设函数SKIPIF10，已知SKIPIF10是函数SKIPIF10的极值点．

（1）求a；

（2）设函数SKIPIF10．证明:SKIPIF10．

2．设a，b为实数，且SKIPIF10，函数SKIPIF10

（1）求函数SKIPIF10的单调区间；

（2）若对任意SKIPIF10，函数SKIPIF10有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当SKIPIF10时，证明：对任意SKIPIF10，函数SKI