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总习题六
1一金属棒长3m离棒左端xm处的线密度为
(kg/m)问x为何值时[0x]一段的质量为全棒质量的一半?
解x应满足
因为
所以
(m)
2求由曲线asina(cossin)(a0)所围图形公共部分的面积
解
3设抛物线
通过点(00)且当x[01]时y0试确定a、b、c的值使得抛物线
与直线x1y0所围图形的面积为
且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小
解因为抛物线
通过点(00)所以c0从而
抛物线
与直线x1y0所围图形的面积为
令
得
该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
令
得
于是b2
4求由曲线
与直线x4x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积
解所求旋转体的体积为
5求圆盘
绕y轴旋转而成的旋转体的体积
解
6抛物线
被圆
所需截下的有限部分的弧长
解由
解得抛物线与圆的两个交点为
于是所求的弧长为
7半径为r的球沉入水中球的上部与水面相切球的比重与水相同现将球从
水中取出需作多少功?
解建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为2r在x处
取一厚度为dx的薄片在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为rx
在水上上升的高度为rx在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为
对球所做的功为
8边长为a和b的矩形薄板与液面成α?角斜沉于液体内长边平行于液面而位于
深h处设ab液体的比重为ρ试求薄板每面所受的压力
解在水面上建立x轴使长边与x轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应
长边在x轴上的投影区间为[0bcos]在x处x轴到薄板的距离为hxtan压力元素
为
薄板各面所受到的压力为
9设星形线
上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方在原点O处有一单位质点
求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力
解取弧微分ds为质点则其质量为
其中
设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy则有
所以
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