人教A版高中数学必修2导学案：第2章 直线与平面垂直的判定.docVIP

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eq\a\vs4\al(直线、平面垂直的判定及其性质)

2．3.1直线与平面垂直的判定

预习课本P64～66,思考并完成以下问题

1．直线与平面垂直的定义是怎样的？

2．直线与平面垂直的判定定理是什么？

3．直线与平面所成的角是怎样定义的？

4．直线与平面所成的角的范围是什么？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．直线与平面垂直的定义

(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足．

(2)图形语言：如图．

画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

(3)符号语言：任意a?α,都有l⊥a?l⊥α.

[点睛]

(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．

(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．

2．直线与平面垂直的判定定理

(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直．

(2)图形语言：如图所示．

(3)符号语言：a?α,b?α,a∩b＝P,l⊥a,l⊥b?l⊥α.

[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直．

3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角．

如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．

(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.

(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.

(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.

[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行()

(2)若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b()

(3)若a⊥b,b⊥α,则a∥α()

答案：(1)×(2)√(3)×

2．直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是()

A．平行 B．垂直

C．在平面α内 D．无法确定

解析：选D当平面α内的两条直线相交时,直线l⊥平面α,即l与α相交,当平面α内的两直线平行时,l?α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．

3.如图,∠BCA＝90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；

(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．

解析：(1)∵PC⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC.

∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.

(2)∠BCA＝90°,即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AP.

答案：(1)AB,AC,BC(2)BC

对直线与平面垂直的判定定理的理解

[典例]下列说法正确的有________(填序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直；

③如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直；

④若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直．

[解析]因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面,故