初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 11 讲 线段与角.docxVIP

第11讲线段与角

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直线上两点间的部分叫线段.关于线段的性质，有线段的公理：在所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间，线段最短.

从一点引出的两条射线组成的图形叫作角，角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转后得到的.

本讲的重点是线段和角的度量与计算.代数方法是线段和角的计算的主要方法.

经典例题解析

【例11-1】如图11-1所示，C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点.若所有线段的长度都是正整数，且线段AB所有可能长度的乘积等于140，则线段AB所有可能长度的和等于.

解设线段CB的长度为x,则x≥2,AB=2x≥4,于是AB是偶数.

又因为140=2×2×5×7,且140是线段AB所有可能长度的乘积,所以AB=10或14,故线段AB所有可能长度的和等于24.

【例11-2】如图11-2所示，A是直线上的一个点，请你在A点的右侧每隔1cm取一个点，共取三个点，那么：

(1)用B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上，一共有种不同的标法.

(2)在每种标法中，AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别是.

解(1)将B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上，第一个点有3种标法，第二个点有2种标法，第三个点只有1种标法，所以共有3×2×1=6种不同的标法.

(2)图11-3所示是6种不同的标法:

图11-3(a)中,(AB+BC+CD):AD=(1+1+1):3=1:1.

图11-3(b)中,(AB+BC+CD):AD=(1+2+1):2=2:1.

图11-3(c)中,(AB+BC+CD):AD=(2+1+2):3=5:3.

图11-3(d)中,(AB+BC+CD):AD=(3+2+1):2=3:1.

图11-3(e)中,(AB+BC+CD):AD=(2+1+2):1=5:1.

图11-3(f)中,(AB+BC+CD):AD=(3+1+1):1=5:1.

由此,在每种标法中,AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别为1:1,2:1,5:3,3:1,5:1,5:1.

【例11-3】一个角的补角13?等于它的余角，则这个角等于°

解设这个角为x°，则13

【例11-4】如图11-4所示是一个3×3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数应该是.

解从图11-4可以看出:∠3=∠5=∠7=45°,∠1+∠9=90°,∠2+∠6=90°,∠4+∠8=90°,故∠1+∠2+∠3+…+∠9=405°.

【例11-5】现已知有两个角，即锐角α和钝角β，赵、钱、孙、李四位同学计算14

(A)68.5°(B)22°(C)51.5°(D)72°

解因为0°α90°,90°β180°,所以90°α+β270°,于是22.5°

【例11-6】已知锐角△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足∠A∠B∠C,用α表示∠A—∠B、∠B—∠C以及90°—∠A中的最小者，则α的最大值为.

解记m、n、p中最小者为min{m,n,p},因为cα=min{∠A—∠B,∠B—∠C,90°—∠A},所以α≤∠A-∠B,α≤∠B-∠C,α≤90°-∠A.

所以6α≤≤2∠A?∠B

另一方面，当.∠A?∠B=∠B?∠C=90°?∠A=15°°时，有∠A=75°,∠B=60°,∠C=45°满足题设条件，故α可取得最大值15°.

【例11-7】一条直线顺次排列着1990个点:P1,P2,?,P1990,已知点P?是线段P???P???的k等分点当中最靠近P???的那个分点(

证明由题设可知，P?是线段P?P?的中点，故P?P?=P?P?=1;P?是线段P?P?的3等分点当中最靠近P?的那个分点，故P3P4=12P2P

当k=4,5,6,…,1989时,PP5=13P3

【例11-8】在一个圆上有六个点，它们之间可以连一些线段.那么至少连多少条线段，可以使得这六个点中任意三点之间都至少有一条线段?请说明理由.

解不防设这三个点中连出线段最少的是点A.

(1)若点A与其他点没有连线(孤立点)，为了保证任意三点之间都至少有一条线段，则其他五点之间必须两两连线，此时至少需要连5×42

(2)若点A恰好连出一条线段，设为AB，此时A点与其他四点无线段连接，类似(1)的情况，这四点之间必须两两连线，这样至少需要连4×32+1=6+1=7

(3)若点A恰好连出两条线段，此时其他点至少连出两条线段，于是这六个点连出线段总和至少有2×62

下面我们给出满足题意的6条连线的