新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）2 不等式中的恒成立问题（原卷版）.doc

素养拓展02不等式中的恒成立问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】

（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

2.分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

3.其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

4.其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

5.其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．

思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

1.基本不等式恒成立问题

一、单选题

1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B．} C． D．

4．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（????）

A．9 B．12 C．16 D．25

5．当不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（????）

A． B．

C． D．

8．已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

9．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（??）

A． B． C． D．

二、多选题

11．若不等式对恒成立，则实数的值可以为（???）

A．1 B．2 C．4 D．5

12．当，，时，恒成立，则的取值可能是（????）

A． B． C．1 D．2

三、填空题

13．，，且恒成立，则的最大值为__．

14．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．

15．已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.

16．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．

2.一元二次不等式恒成立问题

一、单选题

1．定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．或

4．对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

6．已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

7．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（????）

A． B．0 C．1 D．2

8．若对，使得（且）恒成立，则实数的值是（????）

A． B． C．2 D．

9．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（????）

A．2 B． C． D．

10．已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________.

12．关于的不等式在内有解，则的取值范围为_