新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）13 三角形中的“四心”问题（原卷版）.doc

素养拓展13三角形中的“四心”问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

重要结论：（1）设点SKIPIF10是△SKIPIF10所在平面内的一点，则当点SKIPIF10是△SKIPIF10的重心时，有SKIPIF10或SKIPIF10（其中SKIPIF10为平面内任意一点）；

（2）在向量的坐标表示中，若SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为SKIPIF10、

SKIPIF10、SKIPIF10，SKIPIF10，则有SKIPIF10.

三、三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

重要结论：若点SKIPIF10是△SKIPIF10的外心，则SKIPIF10或

SKIPIF10；反之，若SKIPIF10或

SKIPIF10，则点SKIPIF10是△SKIPIF10的外心。

四、三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

重要结论：若点SKIPIF10是△SKIPIF10的内心，则有SKIPIF10；反之，若SKIPIF10，则点SKIPIF10是△SKIPIF10的内心．

五、垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若SKIPIF10是△SKIPIF10的垂心，则SKIPIF10或

SKIPIF10，反之，若或

SKIPIF10，则SKIPIF10是△SKIPIF10的垂心．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】若SKIPIF10为SKIPIF10的重心（重心为三条中线交点），且SKIPIF10，则SKIPIF10___．

【典例2】已知点SKIPIF10是SKIPIF10的内心、外心、重心、垂心之一，且满足SKIPIF10，则点SKIPIF10一定是SKIPIF10的（????）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【典例3】已知O是平面上的一个定点，A?B?C是平面上不共线