新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）14 平面向量中等和线的应用（原卷版）.doc

素养拓展14平面向量中等和线的应用（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、平面向量共线定理

已知SKIPIF10，若SKIPIF10，则A，B，C三点共线，反之亦然.

二、等和线

平面内一组基底SKIPIF10及任一向量SKIPIF10，SKIPIF10，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则SKIPIF10（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.

当等和线恰为直线AB时，k=1；

当等和线在O点和直线AB之间时，SKIPIF10；

当直线AB在点O与等和线之间时，SKIPIF10；

当等和线过O点时，k=0；

若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.

三、证明步骤

如图1，SKIPIF10为SKIPIF10所在平面上一点，过SKIPIF10作直线SKIPIF10，由平面向量基本定理知：

存在SKIPIF10，使得SKIPIF10

下面根据点SKIPIF10的位置分几种情况来考虑系数和SKIPIF10的值

=1\*GB3①若SKIPIF10时，则射线SKIPIF10与SKIPIF10无交点，由SKIPIF10知，存在实数SKIPIF10，使得SKIPIF10

而SKIPIF10，所以SKIPIF10，于是SKIPIF10

=2\*GB3②若SKIPIF10时，

（i）如图1，当SKIPIF10在SKIPIF10右侧时，过SKIPIF10作SKIPIF10，交射线SKIPIF10于SKIPIF10两点，则

SKIPIF10，不妨设SKIPIF10与SKIPIF10的相似比为SKIPIF10

由SKIPIF10三点共线可知：存在SKIPIF10使得：SKIPIF10

所以SKIPIF10

（ii）当SKIPIF10在SKIPIF10左侧时，射线SKIPIF10的反向延长线与SKIPIF10有交点，如图1作SKIPIF10关于SKIPIF10的对称点SKIPIF10，由（i）的分析知：存在存在SKIPIF10使得：SKIPIF10

所以SKIPIF10，于是SKIPIF10

综合上面的讨论可知：图1中SKIPIF10用SKIPIF10线性表示时，其系数和SKIPIF10只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过SKIPIF10作SKIPIF10边的垂线SKIPIF10，设点SKIPIF10在SKIPIF10上的射影为SKIPIF10，直线SKIPIF10交直线SKIPIF10于点SKIPIF10，则SKIPIF10(SKIPIF10的符号由点S