高等数学期末终极复习指南(复旦整理).pdfVIP

高等数学期末复习指南

综述：以历年考题为导向，梳理高数复习脉络，总结各部分内容的方法技巧。

适用范围：高等数学期末考试的备考，包括文科高等数学。

基本内容

极限与函数

微分与导数

一元函数积分学

矩阵与线性方程组

解析几何初步

微分方程

常用公式、技巧

一、极限与函数

基本概念：函数的定义域、值域，数列极限的概念、性质、运算法则、判定方法，无穷大量、

无穷小量的比较，初等函数与其反函数，函数连续性

备考重点：无穷小量与无穷大量，极限判定、运算法则，函数极限（尤其初等函数组合的极

限）。

常见题型：对这章的直接考察，基本上是在试卷的头两道题。

方法与技巧

1.熟练掌握初等函数的等价无穷大量、等价无穷小量

2.熟练进行适当的变形

i.将sec(x)cot(x)等化成sin(x)cos(x)tan(x)

将三角函数的幂次利用降阶公式进行适当降阶

对于二倍角、三倍角一般不必化简直接利用等价量进行代换

掌握三角函数和差化积

ii.考虑多项式的等价无穷大，一般只用看最高幂次

考虑多项式的等价无穷小，只看最小幂次，有常数的看常数。

iii.许多含1/x的函数，等价无穷小与等价无穷大是可以灵活转换的，如sin(1/x),e^(1/x)

以x的幂次为自变量的函数，把幂次看做整体，如ln(1+x^2),sin(x^2)

iv.指数含有x的，利用对数函数把指数上的x拿下来，再利用指数函数连续性直接求指数

的极限

v.对于根式，利用平方差公式寻找适当变形

vi.熟练掌握与e指数定义有关的常见极限及其变形

3.利用L’Hospital法则（洛必达法则）、求导公式：

对于分式形式，0/0型常用洛必达法则上下同时求导，但注意前提是求导之后应有极限。对

于求导比较难算的根式、复合函数，建议先考虑其他方法。

使用洛必达法则之前，有时需要先适当变形，变成容易上下求导的形式。

对于分式形式，且已经化成了类似于求导的形式，可以变形之后利用导函数来求极限。

4.对于数列极限，还可以考虑夹逼法

例如这个考题，解答如下

大家注意如果把问题中的k换成k平方，就不一样了，需要用到积分的定义来理解。

二、导数与微分

基本概念：导数的定义，求导运算法则，初等函数导数，微分中值定理，洛必达法则，Taylor

公式，函数的单调性

备考重点：可导的充分必要条件，莱布尼兹公式，复合函数求导法则，初等函数的求导公式，

微分形式不变形，中值定理，函数单调性

常见题型：给出函数，求其导函数

对给定函数，求切线、渐近线

考虑函数的可导性

方法与技巧

这部分内容基本上是直接根据定义进行计算，关键是熟练掌握基本求导公式，熟练运用公式。

以书本的定义为主进行适当练习即可。

1.对于含根式的求导，指数和底数都含有未知数的情况，可以用对数求导法

2.对于参数方程的求导，注意参数的取值范围

3.利用中值定理，可以证明恒等式、不等式（不做重点要求），有时需要适当变形，变成适

合使用中值定理的形式。

我们看两个例题，和一道往年的考题

例如这个考题:

不妨设x1=x2,则f(x1+x2)-f(x2)=f’(x3)·x1,x3在x2与x1+x2之间

f(x1)=f(x1)-f(0)=f’(x4)·x1x4在0与x1之间

由于f(x)有非负二阶导函数，那么f’(x)是单调不减的

自然就有f’(x3)=f’(x4)可得结论

4.对于函数闭区间上最值的讨论，要小心端点值可能是最值。对于单调性，注意可以结合图

表分析。

五、积分

基本概念：定积分的概念、性质运算法则，微积分基本定理，基本不定积分，积分的应用，

反常积分（广义积分）。

备考重点：基本不定积分表，常见不定积分公式，换元法、分部积分法，反常积分敛散性的

判别。

常见题型：求不定积分，求定积分的值，讨论反常积分的敛散性，求旋转体体积等

方法与技巧

1.换元法要分情况分析。

凑微分法，

ii.三角代换

若把cosx换成-cosx函数值变相反数，则令t=sinx;

若把sinx换成-sinx函数值变相反数，则令t=cosx;

若把cosx换成-cosx,sinx换成–sinx函数值不变，则令t=tanx;

如果都不符合，其实这类问题有万能公式，就是令t=tan(x/2)

例如这个曾经的考题，就符合前述的第三种情形，因为这个分式是齐次的，可以分子分母同

除以cosx将被积函数换成