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第一篇

函数、极限与连续

高等数学课程的主要内容是微积分，函数是微积分研究处理的主

要对象；极限是微积分的基本工具；函数的连续性是函数的重要特性

之一，高等数学的许多重要内容都与函数的连续性密切相关.

本篇只有一章，作为本课程的基础，首先在初等数学的基础上

总结性地介绍一元函数的概念、特性；然后引进极限的概念，以及常

用的计算极限的方法；最后是函数的连续性.

第一章

函数、极限与连续

高等数学为处理客观世界中的运动现象及其变化规律提供了一系列的方法、工具和手

段，例如，借助于函数可以描述运动变化过程中变量之间相互联系相互依赖的关系；利用极

限可以研究运动变化过程中变量的变化趋势；而利用函数的连续性则可以处理与连续性现

象相关的实际问题，等等.

第一节函数的基本概念与简单性质

函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，高等数学处理问题几乎处处与函数打交道，

本节将在中学已有知识的基础上，进一步凝练、升华有关函数的系统知识.

一、预备知识

1．点与实数

实数的集合R与数轴之间可以建立对应关系，即实数与数轴上的点一一对应（图1-1).

由于存在这样的一一对应，在数学上往往将实数与数轴（直

线)上的点不加区别.QER

由于上述的对应关系，从代数的观点看，x一α|是一个

数，表示两个数x与a之差的绝对值；从几何的观点看，它表图1-1

示直线上两点x与α之间的距离，

理的数一般都指的是实数.

2.常量与变量

在生产实践和科学研究中，会遇到各种各样的量.在对一个特定问题的研究过程中，有

些量保持不变，取常值，这样的量称为常量，有些量是变化的，可取不同的数值，这样的量称

为变量

例如，一辆汽车用3个小时行驶了270km，这期间，汽车的平均速度=90km/h是一常

高等数学（上册）

量；然而，汽车在每一瞬间的速度(通常称为瞬时速度)v(t)却是一个变量

3.区间与邻域

通常，变量的取值是实数的一个集合，高等数学中常用的实数的集合是区间和邻域，

（1）区间任意取定实数a，b，ab.以下等式给出的是以a，b为端点的各种区间的定

义,其中等式左端是相应区间的记号.

开区间(a,b)={x｜axb}(图1-2).

闭区间[a,b]=(x|a≤α≤b}(图1-3).

左闭右开区间[a,b)=(x|a≤xb}(图1-4).

左开右闭区间(a,b］={x|ax≤b}(图1-5).

上述区间统称为有限区间，它们对应于数轴上长度有限的线段，

图1-2图1-3

图1-4图1-5

引进记号∞，十∞，一，分别读作无穷大,正无穷大，负无穷大,定义无穷区间如下：

[a,+∞∞）={x|x≥a}(图1-6)．(-∞∞,b)={x｜xb}(图1-7).

类似可定义（a,十∞∞），（一∞,b］，（一∞，十∞∞），其中（一∞，十∞)对应于整个数轴，或者说实

数集R.

在今后的学习中，有时会用字符I表示上述区间中的任何一个

图1-6图1-7

（2）邻域设α是给定的实数，0是一个正数，如下数集

U(a,0)=(xIx-a|o}=(a-0,a+0)

称为点α的8邻域，点α称为邻域的中心，称为邻域