人教A版高中数学必修2导学案：第2章 空间中直线与直线之间的位置关系.docVIP

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eq\a\vs4\al(空间点、直线、平面之间的位置关系)

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系

预习课本P44～47,思考并完成以下问题

1．空间两直线有哪几种位置关系？

2．什么是异面直线？

3．什么是异面直线所成的角？

4．平行公理的内容是什么？

5．等角定理的内容是什么？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法：

2．空间两条直线的位置关系

位置关系

特点

相交

同一平面内,有且只有一个公共点

平行

同一平面内,没有公共点

异面直线

不同在任何一个平面内,没有公共点

[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交,也不平行．

(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图中,虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b＝O,所以a与b不是异面直线．

3．平行公理(公理4)

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

(2)符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥bb∥c))?a∥c.

4．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．

5．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.

(3)当θ＝90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.

[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°θ≤90°,所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．

(2)公理4也称为平行公理,表明空间的平行具有传递性,它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两条直线无公共点,则这两条直线平行()

(2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行()

(3)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线()

(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

2．如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是()

A．共面 B．平行

C．异面 D．平行或异面

解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点,故a与b的位置关系是平行或异面．

3．已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC＝30°,则∠PQR等于()

A．30° B．30°或150°

C．150° D．以上结论都不对

解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,故∠PQR＝30°或150°.

两直线位置关系的判定

[典例]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1綊BC,∴四边形A1BCD1为平行四边形,∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面

(1)判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断．

(2)判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：由定义判断