新八年级数学（人教版）第13讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质（人教版）（解析版）.docx

第13讲等边三角形及含30°角的直角三角形的性质

【人教版】

·模块一等边三角形的性质和判定

·模块二含30°角的直角三角形的性质

·模块三课后作业

模块一

模块一

等边三角形的性质和判定

等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【考点1等边三角形的性质】

【例1.1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（????）

A．90° B．120° C．180° D．无法确定

【答案】C

【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

【详解】解：∵图中是三个等边三角形，

∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，

故选：C．

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．

【例1.2】已知直线a∥b，将等边三角形△ABC按如图所示的位置摆放，若∠1=35°，则∠2的度数为（????）

A．95° B．85° C．75° D．70°

【答案】B

【分析】如图，根据平行线的性质得∠2=∠5，由等边三角形的性质得∠C=60°，再由对顶角性质得∠3=∠1=35°，∠4=∠5，最后由三角形内角和定理求解即可．

【详解】解：如图，

∵a∥b，

∴∠2=∠5，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=60°，

∵∠3=∠1=35°，∠4=∠5，∠3+∠4+∠C=180°，

∴∠1+∠2+∠C=180°，

∴∠2=85°，

故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质是解题的关键．

【例1.3】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，试说明：△DAB≌△DCE

??

【答案】见解析

【分析】由△DAC和△DBE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证．

【详解】解：证明：∵△DAC和△DBE都是等边三角形，

∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，

∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，

即∠ADB=∠CDE，

在△DAB和△DCE中，

DA=DC

∴△DAB≌△DCE(SAS

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

【变式1.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（???）

A．220° B．180° C．270° D．240°

【答案】D

【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的定义可得∠B=∠C=60°，再根据四边形的内角和即可得．

【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠a+∠β+∠B+∠C=180°×(4?2)=360°，即∠a+∠β+60°+60°=360°，

∴∠a+∠β=240°，

故选：D．

【点睛】本题考查了多边形的内角和、等边三角形，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．

【变式1.2】如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD，若∠BAE=39°，那么∠AEB=______．

【答案】21°

【分析】由等边三角形的性质得出∠DBE=60°，根据∠DBE=∠BAE+∠AEB可求出答案．

【详解】解：∵△BDE是等边三角形，

∴∠DBE=60°，

∵∠DBE=∠BAE+∠AEB，

∴∠AEB=60°?∠BAE=60°?39°=21°，

故答案为：21°．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

【变式1.3】如图，在等边△ABC中，点E为AB上一点，点F为AC上一点，且AE=CF．求证：CE=BF．

??

【答案】证明见解析

【分析】只需要利用SAS证明△ACE≌△CBF即可证明CE=BF．

【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠CAE=∠BCF=60°，

又∵AE=CF，

∴△ACE≌△CBFSA