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导数练习题

一、基本概念题

1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(a)表示的是________。

2.若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)0，则f(x)在区间I上是________的。

3.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=2，则极限lim(x→0)[f(x)f(0)]/x的值为________。

4.若函数f(x)在x=a处不可导，则曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线__________。

二、计算题

1.求函数f(x)=3x^22x+1在x=1处的导数值。

2.计算函数f(x)=x^32x^2+1的导数。

3.已知函数f(x)=(x^2+1)/(x1)，求f(x)。

4.设函数f(x)=|x2|，求f(2)。

5.求函数f(x)=e^xln(x)的导数。

三、应用题

1.一物体做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s=t^22t+1，求物体在t=3秒时的瞬时速度。

2.已知某商品的成本函数为C(x)=3x^2+2x+10，其中x为生产数量，求该商品的平均成本函数和边际成本函数。

3.一曲线在某点处的切线斜率为2x+3，求该曲线的方程。

4.某企业的利润函数为L(x)=200x3x^2，求使利润最大的产量x。

四、综合题

1.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求证：f(x)在区间(2,+∞)上单调递增。

2.设函数f(x)在区间(∞,+∞)上可导，且f(x)的图像如图所示，求f(x)的单调递增区间。

3.已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=4，极限lim(x→0)[f(1+2x)f(1x)]/x的值为8，求f(0)的值。

4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=1。

五、判断题

1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)恒为正，则f(x)在区间(a,b)内是严格单调递增的。（）

2.如果函数f(x)在x=a处连续，那么f(x)在x=a处一定可导。（）

3.对于任意可导函数f(x)，都有lim(x→0)[f(x+1)f(x)]/x=f(0)。（）

4.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。（）

六、填空题

1.已知函数f(x)=x^2+2x+1，则f(x)=________。

2.若函数f(x)的导数为f(x)=3x^24x+7，则f(x)的一个原函数是________。

3.函数f(x)=cos(x)在x=π处的导数值为________。

4.设函数f(x)在x=2处的导数为3，且f(2)=5，则函数f(x)在x=2处的切线方程为________。

七、证明题

1.证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)恒为0，则f(x)在区间(a,b)内为常数函数。

2.证明：函数f(x)=e^x在实数域上是严格单调递增的。

3.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且满足0≤f(x)≤1，证明：|f(1)f(0)|≤1。

4.证明：函数f(x)=x^33x在区间(∞,+∞)上存在至少一个零点。

八、极限与导数结合题

1.计算极限lim(x→0)[(sin(x)x)/x^3]。

2.已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=2，极限lim(x→0)[f(x^2)f(x)]/x^3的值为1，求f(0)。

3.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=4，求极限lim(x→0)[f(2x)f(x)]/x。

4.已知函数f(x)在x=0处连续，且极限lim(x→0)[f(x)f(0)]/x^2=3，求f(0)。

一、基本概念题

1.f(a)表示的是函数f(x)在x=a处的瞬时变化率。

2.函数f(x)在区间I上是单调递增的。

3.极限的值为f(0)。

4.曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线不存在。

二、计算题

1.f(1)=4

2.f(x)=3x^24x

3.f(x)=(2x(x1)(x^2+1))/(x1)^2

5.f(x)=e^xln(x)+e^x/x

三、应用题

1.瞬时速度为6米/秒。

2.平均成本函数为C(x)/x=3x+2+10/x，边际成本函数为C(x)=6x+2。

3.无法确定，需要更多信息。

4.使利润最大的产量x=100/3。

四、综合题

1.略（证明过程需要使用导数的性质和单调性定理）

2.无法确定，需要图像信息。

3.f(0)=12。

4.略（证明过程需要使用拉格朗日中值定理）

五、判断题

1.√

2.×（连续不一定可导）

3.×（正确形式为lim(x→0)[f