第3讲-最大公因数和最小公倍数教师.doc

第四讲：最大公因数和最小公倍数

主讲人：Lily学生：五年级

一、概念总结

1.因数和倍数

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。

一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。

一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

求：12的因数：

18的因数：

12的倍数：

18的倍数：

2.公因数和最大公因数

〔1〕概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

用符号〔，〕。如〔12，18〕=6。

〔2〕特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。

3.公倍数和最小公倍数

〔1〕概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。用符号[，]表示。如[12，18]=36。

〔2〕特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。

4.互质〔互素〕

〔1〕概念：假设N个整数的最大公因数是1，那么称这N个整数互质。

(2〕互质数的写法：如c与m互质，那么写作〔c,m〕=1。

〔2,3〕=1，〔4,9〕=1

(3)1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。

注意:

〔1〕两个质数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。

〔2〕两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。

例：[6，8]=24，〔6，8〕=2，24是2的倍数。

二、求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法

〔1〕列举法

分别写出两个数的倍数〔因数〕，再找出公倍数〔公因数〕，从中找出最小公倍数〔最大公因数〕

〔2〕短除法

用着两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。

习题：用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数

〔3〕辗转相除法

〔4〕a×b=〔a,b〕×[a,b]

上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

〔3〕特殊情况的求法

①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

例如：〔1,2〕=1〔1,195〕=1〔1,111〕=1

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

举例：15和5，[15，5]=15，〔15，5〕=5

③互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

举例：[3，7]=21，〔3，7〕=1

[5，8]=40，〔5，8〕=1

[4，9]=36，〔5，8〕=1

⑤相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

[9，8]=72，〔9，8〕=1

三、习题稳固

※根底锻炼

1.20以内是2和3的公倍数的数有()个。

A、4B、3C、2D、1

2.一个既是12的因数，又是18的因数，这个数最大是〔〕。

A、12B、18C、6D、8

3.是3的倍数又是5的倍数中，最小一个偶数是〔〕。

A、15B、30C、20D、60

4.两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是〔〕。

5.A能被B整除，那么它们的最小公倍数是〔〕。

7.在a=4b中，a和b的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

8.两个相邻偶数的和是18，它们的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

9.两个数最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是〔〕。

※能力提升

1.A÷B＝8〔AB均为非0的自然数〕，A、B的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

2.甲数＝2×3×a，乙数=2×5×a,甲乙两数的最大公因数是22，那么a是〔〕；如果甲乙两数的最小公倍数是210，那么a是〔〕。

3.A和B均是不为0的自然数，如果A×15=B，A和B这两个数的最大公因数是()，最小公倍数是()。

4.B＝2×3×11，C＝2×5×7，那么210、B和C这三个数的最小公倍数是〔〕，最大公因数是〔〕。

经典例题分析

辗转相除法求：

例1、437与323的最大公约数是多少？

例2、24871和3468的最小公倍数是多少？

例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪块。

〔北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题〕

【分析】：