新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）13 三角形中的“四心”问题（含解析）.doc

素养拓展13三角形中的“四心”问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；

（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、

、，，则有.

三、三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

重要结论：若点是△的外心，则或

；反之，若或

，则点是△的外心。

四、三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心．

五、垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若是△的垂心，则或

，反之，若或

，则是△的垂心．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．

【答案】

【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且，

又为的中点，所以，所以，所以.故答案为：

【典例2】已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（????）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【解析】设中点为，所以，

所以，

即，所以，

又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B

【典例3】已知O是平面上的一个定点，A?B?C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（????）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

【答案】C

【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，

则的方向与的角平分线一致，

由，可得，即，

所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.

【典例4】设为的外心，若，则是的（????）

A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）

C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）

【答案】C

【解析】在中，为外心，可得，

∵，∴，设的中点为，则，，

∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上，

故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C

【题型训练-刷模拟】

1.重心

一、单选题

1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O，则向量（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得.

【详解】设分别是的中点，

由于是三角形的重心，

所以.

故选：C.

2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（????）

A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心

【答案】D

【分析】根据向量线性关系可得，结合的几何意义判断所过的点，即可得答案.

【详解】由题设，

而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，

所以P的轨迹一定通过的重心.

故选：D

3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】如图，为的重心，延长交于点，

由题意可知，，

所以，

所以，

故选：A.

4．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，则（