新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）15 平面向量中的最值（范围）问题（含解析）.doc

素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、平面向量中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．

二、极化恒等式

设a，b是平面内的两个向量，则有SKIPIF10

证明：SKIPIF10，①SKIPIF10，②

将两式相减可得SKIPIF10，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

①几何解释1（平行四边形模型）以SKIPIF10，SKIPIF10为一组邻边构造平行四边形SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10，由SKIPIF10，得SKIPIF10．

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的SKIPIF10”．

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由SKIPIF10变形为SKIPIF10，得SKIPIF10，

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】（极化恒等式的应用）已知SKIPIF10中，SKIPIF10，且SKIPIF10的最小值为SKIPIF10，若SKIPIF10为边SKIPIF10上任意一点，求SKIPIF10的最小值．

解：令SKIPIF10（其中SKIPIF10），则SKIPIF10三点共线（如图），从而SKIPIF10的几何意义表示点SKIPIF10到直线SKIPIF10的距离为SKIPIF10，这说明SKIPIF10是等边三角形，SKIPIF10为边SKIPIF10上的高，故SKIPIF10．

取SKIPIF10的中点SKIPIF10，则由向量极化恒等式可得SKIPIF10，

其中SKIPIF10为点SKIPIF10到边SKIPIF10的距离．

即当点SKIPIF10在垂足SKIPIF10（非端点）处时，SKIPIF10达到最小值．

【典例2】（数量积的最值（范围））已知SKIPIF10SKIPIF10，若点M是SKIPIF10所在平面内的一点，且SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】C

【解析】以SKIPIF10为坐标原点，建立平面直角坐