初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 29讲一次不定方程.docxVIP

第29讲一次不定方程

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在一个一次方程或方程组中，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的.例如方程x-2y=3，方程组x+y+z=100,x+2y+5z=100

然而，在一定的条件下，例如在求其正整数解时，其解也可能是有限的，有时我们还需找出无限多组解中最优的解来.求不定方程的整数解的方法很多，我们可以根据题目的条件和要求选择最简单的解法.

我们常将一个未知数用另外一个未知数表示出来，然后利用约数与倍数的关系来分析或穷举，有时也可利用不等关系先缩小范围，从而求出其符合题意的解来.

对于一般的一次不定方程ax+by=c，可采用“特解一通解”法，即先通过观察或用辗转相除法，找出它的一组特解x=x0,

经典例题解析

【例29-1】李林在银行兑换一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒位置了(例如把12.34元看成34.12元)，并按看错的数字支付，李林将其款花去3.50元之后，发现其余款额恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回.那么，李林应退回的款额是元.

解设支票上的元数与角、分数分别为x和y,由题意,得(100y+x)-350=2(100x+y),其中,x、y为整数且0≤x,y100.

化简方程得

98y=199x+350.①

所以y=199x+350

y=2x+3+3x+56

由式②知y2x,由式①知x为偶数,其可能取值为2,4,…,48.取x=2,4,…,48计算y值.只有当x=14时，y=32是整数，所以李林支票面额为14.32元，兑换时误看成32.14元，李林应退回的款额为32.14—14.32=17.82(元).

【例29-2】用5元钱共买西瓜、梨子、山楂共100个，西瓜一个5角，梨子一个1角，山楂十个1角，可每样各买多少个?

解设西瓜、梨子、山楂分别买了x、y、z个，根据题意，得

x+y+z=100,

消去z,得49x+9y=400.

经验证可知x不能为大于2的正整数,当x=1时,y=39,z=60;当x=2时,y无整数解.

故可买西瓜1个，梨子39个，山楂60个.

【例29-3】一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后达到目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点.试问：科学考察队在生态区考察了多少天?

解设考察队到生态区用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则有

x+y+z=60,25y?17x=1.

式②有一个特解是x=?3,y=?2,故通解是

于是有x+y=42t—5(t是整数).

注意到0x+y60,即042t-560,显然仅当t=1时才符合题意,这时x+y=37,于是有x=-3+25=22,y=15,z=23.

【例29-4】某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准做如下规定：每月每户用水不超过10t部分按0.45元/吨收费；超过10t而不超过20t部分按0.80元/吨收费；超过20t部分按1.50元/吨收费.某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元.问：甲、乙、丙户该月各缴水费多少(自来水按整吨收费)?

解设丙户用水x(x为整数,且0x≤10)吨,乙户用水(10+y)(y为整数,且0y≤10)吨.由乙户比丙户多缴3.75元,得0.45x+3.75=0.80y+0.45×10,整理得9x-16y=15.

因为3能整除9和15，但不整除16，则3必整除y，即y是3的倍数.

又因为0y≤10，故y只能取3、6、9.经检验知，y=3是唯一能使x为整数的值，这时x=7.

同理,设甲户用水(20+z)(z为整数,且z0)吨,由甲户比乙户多缴7.10元,得0.80y+0.45×10+7.10=1.50z+0.45×10+0.8×10,整理得8y-15z=9.

由y=3,代入得8×3-15z=9,解得z=1.

所以甲户缴水费1.50+0.45×10+0.80×10=14(元),乙户缴水费0.80×3+0.45×10=6.9(元),丙户缴水费为0.45×7=3.15(元).

【例29-5】某校七年级的新生男女同学的比例为8：7，一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17：15.到九年级时，原校有转学走的，又有转学来的，统计知净增人数10名，此时男女同学的比例变为7：6.