人教A版高中数学必修2导学案：第2章 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系.docVIP

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eq\a\vs4\al(空间点、直线、平面之间的位置关系)

2．1.32.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、

平面与平面之间的位置关系

预习课本P48～50,思考并完成以下问题

1．直线与平面的位置关系有哪几种？

2．平面与平面的位置关系有哪几种？

3．直线与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的？

4．平面与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．直线与平面的位置关系

位置关系

直线a在平面α内

直线a在平面α外

直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

公共点

无数个公共点

一个公共点

没有公共点

符号表示

a?α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

2．两个平面的位置关系

位置关系

两平面平行

两平面相交

公共点

没有公共点

有无数个公共点(在一条直线上)

符号表示

α∥β

α∩β＝l

图形表示

[点睛](1)判断面面位置关系时,要利用好长方体(或正方体)这一模型．

(2)画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行()

(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行()

(3)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行()

(4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2.如图所示,用符号语言可表示为()

A．α∩β＝l B．α∥β,l∈α

C．l∥β,l?α D．α∥β,l?α

解析：选D显然图中α∥β,且l?α.

3．平面α∥平面β,直线a?α,则a与β的位置关系是________．

答案：平行

直线与平面的位置关系

[典例]下列命题中,正确命题的个数是()

①如果a,b是两条平行直线,那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b；

④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α；

⑤如果平面α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α.

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′,BC?平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′,A′D′∥平面BCC′B′,但AA′与A′D′相交,所以③不正确；④中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即④正确；⑤显然正确,故答案为C.

[答案]C

在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏．另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断．

[活学活用]

下列说法：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α；

②若直线a在平面α外,则a∥α；

③若直线a∥b,b?α,则a∥α；

④若直线a∥b,b?α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线．

其中正确的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α,①错误；对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行,②错误；对于③,直线a∥b,b?α,只能说明a和b没有公共点,a可能在平面α内,∴a不一定平行于α,③错误；对于④,∵a∥