人教A版高中数学必修2导学案：第4章 圆的一般方程.docVIP

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eq\a\vs4\al(圆的方程)

4．1.2圆的一般方程

预习课本P121～123

预习课本P121～123,思考并完成以下问题

1．圆的一般方程是什么？有什么特点？

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？

4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？

eq\a\vs4\al([新知初探])

圆的一般方程

1．圆的一般方程的概念：

当D2＋E2－4F＞0时,二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

2．圆的一般方程对应的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))),半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

[点睛]圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二次方程,圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D,E,F为常数)具有以下特点：

(1)x2,y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F＞0.

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆()

(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆()

答案：(1)×(2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2,－3) D．(2,－3)

解析：选D圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(－4,2)，－\f(6,2))),即(2,－3)．

3．过O（0,0）,A（3,0）,B（0,4）三点的圆的一般方程为________________．

解析：该圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)),半径为eq\f(5,2),故其标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(25,4),

化成一般方程为x2+y2－3x－4y＝0.

答案：x2+y2－3x－4y＝0

圆的一般方程的辨析

[典例]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆,求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解](1)据题意知

D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0,

即4m2＋4－4m2－20m＞0,

解得m＜eq\f(1,5),

故m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m,

故圆心坐标为(－m,1),半径r＝eq\r(1－5m).

判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数．

[活学活用]

1．(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________．

解析：由二元二次