新八年级数学（人教版）第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法（人教版）（解析版）.docx

第14讲等腰三角形常用作辅助线的方法

【人教版】

·模块一作平行线

·模块二作垂线

·模块三倍长中线法

·模块四截长补短法

·模块五课后作业

模块一

模块一

作平行线

【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（????）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25

【答案】C

【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等边三角形，即可得出DE=1

【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，

∴∠Q=∠FPD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP=PF，

在△PFD中和△QCD中，

∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC

∴△PFD≌△QCD(AAS)，

∴FD=CD，

∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，

∴AE=EF，

∴AE+DC=EF+FD，

∴DE=1

∵AC=2，

∴DE=1，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．

（1）证明：PD＝DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．

【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；

（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE=12

【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．

∵△ABC是等边三角形，

∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．

∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．

在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PD=DQ；

（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF．

∵PE⊥AC，∴AE=EF．

∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD．

∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=12

∵AC=6，∴DE=3．

??

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．

【变式1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．

求让：MD=ME

【答案】见详解

【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明?EMD??CME，进而即可得到结论．

【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∵DE∥AC，

∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，

∴△BDE是等边三角形，

∴BD=DE，

∵BD=CE，

∴DE=CE，

又∵∠EMD=∠CME，

∴?EMD??CME，

∴MD=ME．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．

模块二

模块二

作垂线

【例1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【答案】见解析.

【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．

【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∴CE＝CF，

∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，

∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），

∴∠ACF＝∠ECB，

∴∠ACB＝∠ECF，

∵∠ECF+∠MON