新八年级数学（人教版）第04讲 角度计算中的常见模型（人教版）（解析版）.docx

第04讲角度计算中的常见模型

【人教版】

·模块一A字型

·模块二8字型

·模块三燕尾角

·模块四风筝型

·模块五课后作业

模块一

模块一

A字型

A字型

【条件】△ADE与△ABC.

【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.

【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，

∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.

【例1】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（????）．

A．180° B．215° C．235° D．245°

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．

【详解】解：∵∠A=65°，

∴∠ADE+∠AED=180°?65°=115°，

∴∠BDE+∠CED=360°?115°=245°，

故选：D．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE=_____．

??

【答案】115°或25°

【分析】当A′E∥BC时，∠A′EA=∠C=90°，分两种情况考虑，根据翻折可得∠A′ED=∠AED=45°或135°，再根据三角形内角和定理，即可解决问题．

【详解】解：如图，当A′E∥BC时，

??

∴∠A′EA=∠C=90°，

∵∠ABC=70°，

∴∠A=90°?70°=20°，

由翻折可知：∠A′ED=∠AED=1

∴∠ADE=180°?∠A?∠AED=180°?20°?45°=115°．

或者：由翻折可知：∠AED=∠AED=1

∴∠DEC=45°，

∴∠ADE=∠DEC?∠A=45°?20°=25°．

??

故答案为：115°或25°．

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．

【例3】旧知新意：

我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究：

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

初步应用：

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°?12∠A

拓展提升：

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；

（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；

（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；

（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．

【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB

＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB

＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝360°﹣（180°﹣∠A）

＝180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，

∴130°+∠2＝180°+∠C，

∴∠2﹣∠C＝50°；

（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，

∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）

在△PBC中，∠P＝180°?12（180°+∠A）＝90°

即∠P＝90°?1

故答案为：50°，∠P＝90°?1

（4）延长BA、CD于Q，

则∠P＝90°?1

∴∠Q＝180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，

＝180°+180°﹣2∠P，

＝360°﹣2∠P．

【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度数为_________．

【答案】60°

【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．

【详解】解：如图

∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，

∴∠4=60°，

∵∠3=∠2+∠4，

∴∠3?∠2=∠4=60°，

故答案为：60°．

【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础