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高中圆锥曲线练习题
一、选择题
1.下列关于圆锥曲线的说法,正确的是()
A.抛物线的焦点到准线的距离等于其半通径
B.椭圆的长轴一定是x轴
C.双曲线的实轴一定是x轴
D.所有圆锥曲线的离心率都大于1
2.已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$,则其离心率为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{11}}{4}$
3.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标是()
A.(2,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,2)
4.双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的实轴长是()
A.2a
B.2b
C.2a+2b
D.2a2b
二、填空题
1.椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(ab0),则其离心率为______。
2.抛物线$y^2=4px$的焦点坐标为______。
3.双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为______。
4.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$,则其长轴与短轴的比值为______。
三、解答题
1.已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$,求椭圆的焦点坐标、离心率和实轴长。
2.已知抛物线的方程为$y^2=16x$,求抛物线的焦点坐标、准线方程和焦距。
3.已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1$,求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程。
4.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(ab0)的离心率为$\frac{1}{2}$,求椭圆的方程。
5.已知点A在抛物线$y^2=8x$上,点B在准线上,且AB为抛物线的通径,求点A和点B的坐标。
四、综合题
1.在直角坐标系中,点P在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上,点Q在抛物线$y^2=4x$上,且OP=OQ(O为坐标原点)。求线段PQ的中点坐标。
2.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点为F,直线l经过F且与双曲线的渐近线平行,求直线l的方程。
3.在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上任取一点M,过M作x轴的垂线,垂足为N。求线段MN长度的最大值。
4.已知抛物线$y^2=2px$(p0)的焦点为F,直线l过F且与抛物线相交于A、B两点。若AF=3FB,求直线l的斜率。
五、探究题
1.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(ab0)的离心率为e,探究e与a、b之间的关系。
2.已知抛物线$y^2=4ax$(a0)的焦点为F,探究过F的直线与抛物线相交所得线段长度的最小值。
3.在直角坐标系中,探究是否存在一个双曲线,使得它的两个焦点到原点的距离之和等于8,且离心率为2。
4.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(ab0)的短轴端点为B,过B的直线与椭圆相交于A、C两点。探究当直线AC的斜率变化时,线段AC长度的变化规律。
六、应用题
1.在一个平面直角坐标系中,有一块椭圆形的草坪,其方程为$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{25}=1$。现要在草坪上建一个矩形花坛,使得花坛的两个顶点在椭圆的长轴上,另外两个顶点在短轴上。求矩形花坛的最大面积。
2.某抛物线形拱桥的跨度为10米,拱顶距水面的高度为6米。一只小船从拱桥的一侧出发,沿直线划行至拱桥的另一侧。求小船通过拱桥时,船底与水面的最短距离。
3.在一个平面直角坐标系中,有一个双曲线形的花坛,其方程为$\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1$。现要在花坛内种植一种植物,要求这种植物的种植区域为矩形,且矩形的对角线经过双曲线的右焦点。求矩形种植区域的最大面积。
答案
一、选择题
1.A
2.C
3.A
4.A
二、填空题
1.$\sqrt{1\frac{b^2}{a^2}}$
2
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