新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）1 柯西不等式（原卷版）.doc

素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。

4.扩展：，当且仅当时，等号成立.

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【题型训练1-刷真题】

一、填空题

1．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

二、解答题

2．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【题型训练2-刷模拟】

一、解答题

1．若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．

2．已知，且满足，求的最小值．

3．已知a，b，c是正实数，且．求证：

(1)；

(2)．

4．已均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

5．已知均为正数，且满足.证明：

(1)；

(2).

6．设为正数，且.

(1)证明；

(2)证明.

7．已知，且，证明：

(1)；

(2)若，则.

二、单选题

8．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）

A． B． C． D．

9．若，则的最小值是（????）

A．0 B． C． D．

三、填空题

10．若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________．

11．设角、均为锐角，则的范围是______________．

12．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.