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培优专题08洛必达法则的应用(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、知识点梳理
一、前言
在高中,涉及到求参数的取值范围时,参数分离后,有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在,这时如果我们要计算出他们的比值,就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下,通过分子分母分别求导,再求极限来确定未定式的值的方法,称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1(SKIPIF10型):若函数SKIPIF10和SKIPIF10满足下列条件:
(1)设当SKIPIF10时,SKIPIF10及SKIPIF10;
(2)在点SKIPIF10处函数SKIPIF10和SKIPIF10的图像是连续的,即函数SKIPIF10和SKIPIF10在点SKIPIF10处存在导数;
(3)SKIPIF10;则:SKIPIF10.
2.法则2(SKIPIF10型):若函数SKIPIF10和SKIPIF10满足下列条件:
(1)SKIPIF10及SKIPIF10;
(2)在点SKIPIF10处函数SKIPIF10和SKIPIF10的图像是连续的,即函数SKIPIF10和SKIPIF10在点SKIPIF10处存在导数;
(3)SKIPIF10,则:SKIPIF10.
3.法则3(SKIPIF10型):若函数SKIPIF10和SKIPIF10满足下列条件:
(1)SKIPIF10及SKIPIF10;
(2)在点SKIPIF10处函数SKIPIF10和SKIPIF10的图像是连续的,即函数SKIPIF10和SKIPIF10在点SKIPIF10处存在导数;且SKIPIF10;
(3)SKIPIF10,则:SKIPIF10=SKIPIF10.
【特别提醒】
(1)将上面公式中的SKIPIF10换成SKIPIF10洛必达法则也成立。
(2)洛必达法则可处理SKIPIF10型。
(3)首先要检查是否满足SKIPIF10型定式,否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则
(4)若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
(5)高中阶段,洛必达法则一般是用来确定最值,方便解题。
四、适用类型的转化
(1)SKIPIF10型的转化:SKIPIF10或SKIPIF10;
(2)SKIPIF10型的转化:SKIPIF10
(3)SKIPIF10、SKIPIF10SKIPIF10型的转化:幂指函数类SKIPIF10
二、题型精讲精练
二、题型精讲精练
【典例1】设函数SKIPIF10
(1)若SKIPIF10,求SKIPIF10的单调区间;
(2)若当SKIPIF10时SKIPIF10,求SKIPIF10的取值范围
【典例2】若不等式SKIPIF10对于SKIPI
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