新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）10 导数中的隐零点问题（含解析）.doc

培优专题10导数中的隐零点问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、隐零点问题

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程SKIPIF10，并结合SKIPIF10的单调性得到零点的范围；

第2步：以零点为分界点，说明导函数SKIPIF10的正负，进而得到SKIPIF10的最值表达式；

第3步：将零点方程SKIPIF10适当变形，整体代入SKIPIF10最值式子进行化简，要么消除SKIPIF10最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到SKIPIF10最值式的估计.下面我们通过实例来分析.

二、函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理：设函数SKIPIF10在闭区间SKIPIF10上连续，且SKIPIF10，那么在开区间SKIPIF10内至少有函数SKIPIF10的一个零点，即至少有一点SKIPIF10，使得SKIPIF10.

三、常见类型

1.隐零点代换

2.隐零点同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：SKIPIF10

3.隐零点的估计

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】已知函数SKIPIF10．

（1）当SKIPIF10时，求曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（2）若SKIPIF10，求SKIPIF10的取值范围.

解析：（1）切线方程为SKIPIF10,故切线与坐标轴交点坐标分别为SKIPIF10,所求三角形面积为SKIPIF10.

（2）由于SKIPIF10,SKIPIF10，且SKIPIF10.设SKIPIF10,则SKIPIF10即SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，当SKIPIF10时，SKIPIF10,∴SKIPIF10,∴SKIPIF10成立.当SKIPIF10时，SKIPIF10，SKIPIF10,∴存在唯一SKIPIF10，使得SKIPIF10，且当SKIPIF10时SKIPIF10，当SKIPIF10时SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，因此SKIPIF10

SKIPIF10,故SKIPIF10恒成立；

当SKIPIF10时，SKIPIF10∴SKIPIF10不是恒成立.综上所述，实数SKIPIF10的取值范围是SKIPIF10.

【典例2】已知函数SKIPIF10（SKIPIF10，SKIPIF10为自然对数的底数），SKIPIF10.

（1）若SKIPIF10有两个零点，求实数SKIPIF10的取值范围