第四章 谐振子-量子力学基础04.pptVIP

***********若g(x)满足g(x)=-g(x)则g是x的一个奇函数。例如x,1/x,xex2。令(4.50)中x=0，可见，如果g(0)是定义了的和单值的话，一奇函数在x=0处必为零。一个奇函数的图形一般如图4.4所示。因为在y轴一方的正贡献被另一方相应的负贡献所抵消，有：对于g(x)是奇函数容易证明，两个偶函数的乘积，或两个奇函数的乘积，是偶函数；而一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。回到谐振子的本征函数来，我们说任一本征函数不是偶函数就是奇函数。指数因子是x的偶函数。若υ是偶，则多项式因子只含x的偶次幂，使ψ为偶函数。若υ是奇，则多项式因子只含x的奇次幂，而ψ由于是一个偶函数与一个奇函数的乘积所以是奇函数。让我们来寻求最低能级的波函数。对于基态，υ=0，在多项式中无x的奇次幂，以及递推关系式(4.47)指明C2=C4=…=0。于是，用υ的值作为ψ的下标，有：(4.52)用归一化确定C0：其中用了(4.49)式。利用附录中的积分(A.9)，若选归一化常数的相为零，求得：(4.53)波函数(4.53)是一个高斯函数。如图4.4a所示。对于υ=1，在多项式中无x的偶次幂，以及C3，C5等等皆为零；于是(4.54)归一化后[所需的积分是(A.10)式]，有：(4.55)此函数图示于图4.4b。**************************第4章谐振子4.1微分方程的幂级数解?迄今我们只考虑了势能V(x)是常数的情况。这使得薛定谔方程为常系数二阶线性齐次微分方程。我们知道如何去解。然而，我们要处理V随x变化的情况下的波动方程。在此情况下，试给微分返程一幂级数解是一有用的方法。我们考虑微分方程：(4.1)式中C2是实正数。当然此微分方程有常系数，但是如果愿意的话也可用幂级数法解之。首先利用辅助方程s2+c2=0来得到解。求得S=±ic。回顾2.2节的工作，[Eqs.(2.10)与(4.1)式是一样的]，当辅助方程的根是纯虚数时，得到三角函数形式的解：(4.2)式中A和B是积分常数。(4.2)的一个不同的形式有时是有用的，即：(4.3)式中D和e是任意常数。用两角之和的正弦的公式，可证明(4.3)和(4.2)是等价的。现在用幂级数法求解(4.1)。开始我们假设解可在x=0附近用泰勒级数展开，亦即，假设：(4.4)a是要确定的满足(4.1)的系数。将(4.1)微分，有：(4.5)其中我们假设了对于级数逐项微分是正确的。(这对无穷级数不总是对的。)对于y?，有：(4.6)将(4.4)和(4.6)代入(4.1)，得到：(4.7)我们想要合并(4.7)中的两个和。假若某些条件存在，我们能将两个无穷级数逐项相加以得到它们的和(4.8)运用(4.8)于(4.7)中的两个和，我们想要每个和中的求和极限相同以及x的幂次相同。我们改变了(4.7)中第一个和的求和指标，令k，k≡n-2，n从2到无穷对应k从0到无穷，用n=k+2可得：(4.9)(4.9)中的最后一个等式是有效的，因为求和指标是一个哑变量;?它用什么字母表示这个变量没有区别。Example和考虑两个和因为只是两个和的哑变量不同，所以两个和彼此相等。若把它们写出来，则易见：在(4.9)的最后一个等式中，我们简单地把标志求和的指标符号从k换作n。?在一个定积分中的积分变量也是一个哑变量，因为一个定积分的值不受用什么字母来表示此变量的影响。所以：(4.10)运用(4.9)于(4.7)中，在用了(4.8)后，得到：(4.11)若(4.11)对所有的x值是正确的，那么每一幂次的x的系数必为零。为明瞭此点，考虑等式：(4.12)在(4.12)中使x=0，则表明b0=0。取(4.12)对x的一阶导数，然后使x=0，则表明b1=0。取n阶导数，并使x=0，