初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 27 讲 数的整除性.docxVIP

第27讲数的整除性

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1.数的整除性的概念

对于整数a和不为0的整数b，如果存在整数q，使得a=bq成立，则就称b整除a或a被b整除,记作b|a.

此时，我们称b是a的约数，a是b的倍数.

2.数的整除的特征

(1)能被2(或5)整除的数的特征：个位数字能被2(或5)整除.

(2)能被4(或25)整除的数的特征：末两位数字能被4(或25)整除.

(3)能被8(或125)整除的数的特征：末三位数字能被8(或125)整除.

(4)能被3(或9)整除的数的特征：各位数字之和能被3(或9)整除.

(5)能被11整除的数的特征：奇数数位上数字之和与偶数数位上数字之和的差能被11整除.

3.数的整除性的性质

(1)若a|b,b|c,则a|c.

(2)若c|a,c|b,则c|(a±b).

(3)若b|a,n为整数,则b|na.

(4)若a|bc,且a、b互质,则a|c.

(5)若a|b,c|b,且a、c互质,则ac|b.

经典例题解析

【例27-1】请你将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一个能被11整除,且最大的九位数，并且简述排数的过程.

解法1设要求的数为N，因为N是11的倍数，所以它的奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的差是11的倍数，有0、11、22、33、44这五种情况.

因为奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，是一个奇数，我们知道两整数的和与差有相同的奇偶性，所以这个差就只能为11或33.

若这个差为33，因为和为45，故奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为6，一个为39，但1~9这9个数中最小的四个之和为10，大于6，故差不能等于33，即差为11.

由和为45，差为11不难算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为17，一个为28.

为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前四位排成9876，由于偶数数位的数字之和为17，现已有8+6=14，偶数数位其他两个数字之和为3，它们只能是2和1.

于是这个九位数为987652413.

解法2将最大的九位数987654321除以11余数为5,故987654321—5=987654316是11的倍数.

我们将987654316每次减去11，直到得到一个各位数字均不相同的九位数为止.这样减去173个11后第一次得到一个各位数字均不相同的九位数987652413，这就是满足题目条件的最大的九位数.

【例27-2】试求出末8位恰并且能被71整除的最小正整数.

解设这个正整数为n,n=k×10?k×(71×1408450+50)+71×259464+53=71(1408450k+259464)+50k+53.

于是问题变成，求最小的正整数k，使得71|(50k+53).

设50k+53=71m,m的末位为3,取m=3,13,23,33,43,…,仅当m最小值取43时,k是整数,此时k=60.所以这个正整数的最小值为6018421997.

【例27-3】设a为正整数,证明10|

解首先a1????a1???=a1???a3??1,由于an

如果a的个位数字是1、3、7、9中的一个，不难验证a?—1的个位数字是0，即这时a??1被10整除，从而更有a1????a1???被10整除.

如果a的个位数字是5，那么a3?是奇数，a3??1被2整除,a1???被5整除,所以a1????a1???被10整除.

如果a的个位数字是2、4、6、8中的一个，那么不难验证a??1的个位数字是5，从而a1985—a1949被10整除.

如果a的个位数字是0，当然10|

【例27-4】求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字之和.

解设满足条件的四位数为abcd=1000a+100b+10c+d,

即999a+111b+(a-11b+10c+d)=111(a+b+c+d),于是111|(a-11b+10c+d).

又因为一98≤a-11b+10c+d≤108,于是a-11b+10c+d=0,a+10c+d=11b,所以1000a+100b+10c+d=111(9a+b).

由已知条件,得9a+b=a+b+c+d,所以8a=c+d≤18,故a=1或a=2.

若a=1,c+d=8,a+10c+d=9+9c=11b,满足上式的一位整数b、c不存在;

若a=2,c+d=16,a+10c+d=18+9c=11b,显然b=9,于是c=9,d=7.

所求的四位数只有一个：2997.

【例27-5】已知正整数1,2,3,…,1