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数理方程第二版课后习题答案

第一章曲线论

§1向量函数

1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略

2.求证常向量的微商等于零向量。证：设

，

为常向量，因为

所以3.证明

。证毕

证：

证毕

4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其

微商为零，则此向量在该区间上是常向量。证：设

，

为定义在区间上的向量函数，因为，

和

在区间上可导。所以，

在区间上可导当且仅当数量函数

，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，

，

介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有

，从而

证毕5.证明

具有固定方向的充要条件是

具有固定方向，则

。可表示为

，。

，其中，于是

因为

，故

，从而

为某个数

，则在区间上处处有

，于是

。

。如果在

证：必要性：设其中

为某个数量函数，为单位常向量，于是

，可设

，令

充分性：如果量函数，

为单位向量，因为

为常向量，于是，6.证明

，即具有固定方向。证毕

平行于固定平面的充要条件是。

，对

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得

和

，从而，，和

此式连续求导，依次可得

。

充分性：设的结论知，

，即

共面，因此

，其中，如果

可表示为

，根据第5题

，其中

具有固定方向，则

为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于

是作以共线，又由其中

，

为法向量过原点的平面，则平行于。如果

可知，，，和共面，于是

为数量函数，令

，那么

，则与不

，

，这说明与

可

共线，从而表示为

，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中

为某个数量函数，为单位常向量，作以为

法向量，过原点的平面，则平行于。证毕

§2曲线的概念

1.求圆柱螺线解：

，点

在点

的切线与法平面的方程。

，于是当

时，

，

对应于参数

，于是切线的方程为：

法平面的方程为

2.求三次曲线解：

于是切线的方程为：

，当

在点处的切线和法平面的方程。时，

，

，

法平面的方程为

3.证明圆柱螺线证：

，

的切线和轴成固定角。

令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为

，则

证毕

4.求悬链线解：

从

起计算的弧长。

5.求抛物线解：

对应于

的一段的弧长。

6.求星形线解：

，

的全弧长。

7.求旋轮线解：

，

对应于

一段的弧长。

8.求圆柱螺线点到任意点

的弧长。

从它与

平面的交

解：圆柱螺线点对应的参数为

，而

与平面的交点为，

，交

9.求曲线

，

在平面

与平面

之间的弧长。

解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：

平面

对应于参数

，平面

对应于参数

，

10.将圆柱螺线解：

化为自然参数表示。

，因为自然参数

11.求极坐标方程解：极坐标方程

给定的曲线的弧长表达式。

给定的曲线的方程可化为向量参数形式：

§3空间曲线

1.求圆柱螺线

解：密切平面的方程为

在任意点的密切平面的方程。