新八年级数学（人教版）第04讲 角度计算中的常见模型（人教版）（原卷版）.docx

第04讲角度计算中的常见模型

【人教版】

·模块一A字型

·模块二8字型

·模块三燕尾角

·模块四风筝型

·模块五课后作业

模块一

模块一

A字型

A字型

【条件】△ADE与△ABC.

【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.

【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，

∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.

【例1】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（????）．

A．180° B．215° C．235° D．245°

【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE=_____．

??

【例3】旧知新意：

我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究：

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

初步应用：

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°?12∠A

拓展提升：

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）

【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度数为_________．

【变式2】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．

【变式3】如图，已知△ABC中，∠B∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．若∠B=40°，∠DEF=10°，求

??

模块二

模块二

8字型

8字型

【条件】AD、BC相交于点O.

【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)

【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.

【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（????）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D

【例2】如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（????）．

A．62° B．152° C．208° D．236°

【例3】如图，△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,AC,BD交于M．

(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为°；

(2)如图2，当α=60°时，求∠AMD的度数为°；

(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．

【变式1】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

【变式2】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）

A．240° B．280° C．360° D．540°

【变式3】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．

（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．

（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；

（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．

模块三

模块三

燕尾角

燕尾角

【条件】四边形ABDC如上左图所示.

【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)

【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：

∠BDC=∠BDE+∠C