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楼道内家具搬移问题的数学模型

浙江邬天泉

1．1问题的缘起某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米.问：该设备能否水平移进拐角过道？

解由题设，我们以直线OB,OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段AB长的最小值。设直线AB的方程为，∵它与圆相切，

∴。。。。。。（1），又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线的异侧，∴，∴（1）式可化为。。。。。。。。。。（2）

下面求（a0,b0）的最小值。设

代入（2）得，。。。。。。（3）再设t=sinθ+cosθ,.,代入（3）

得，,记

这里f(1)=-40,在内有解。这时

这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为，

故该设备不能水平移进过道。

另解

∴r(t)在上是减函数，。

1．2二维问题的一般情形

某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为m米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为r米，长为L米.(mr0).试找出该设备能水平移进拐角过道的条件。

解数学模型就是求以M(m,m)点为圆心，半径为r(mr0)的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段AB长的最小值.

设直线AB的方程为，∵它与圆相切，∴。。。。。。（1），又∵原点O(0,0)与点M(m,m)在直线的异侧，∴，∴（1）式可化为。。。。。。。。。。（2）

下面求（a0,b0）的最小值.

设代入（2）得，。。。。。。（3）

再设t=sinθ+cosθ,.,代入（3）

得，,

记这里,在内有解当且仅当时取等号，这时.这说明能水平移过的宽r米的矩形的长L至多为

∴当时，该设备才能水平移进过道。

1．3二维问题的广义数学模型

设圆的切线L方程为，则，∵原点O与圆心(a,b)在直线的异侧，∴.

设得切线L被x的正半轴和y的正半轴所截的线段长.

中国科学院成都计算机研究所杨路教授于2004年4月1日用电脑软件算得的最小值是下述6次方程的一个实根：

＋

.

并指出这个方程在时没有根式解.