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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（1）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性.

（Ⅰ）判断集合和集合是否具有“包容”性；

（Ⅱ）若集合具有“包容”性，求的值；

（Ⅲ）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C.

答案：（Ⅰ）集合不具有“包容”性；集合具有“包容”性

（Ⅱ）

（Ⅲ），，，或

解析：（Ⅰ）集合中的，，

所以集合不具有“包容”性.

集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性.

（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，

易得，从而必有，

不妨令，则，且，

则，且，

①当时，若，得，此时具有包容性；

若，得，舍去；若，无解

②当时，则，由且，可知b无解，

故.

综上，.

（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，

又，且C中既有正数也有负数，

不妨设，

其中，，，

根据题意，

且，

从而或.

①当时，，

并且由，得，由，得，

由上可得，并且，

综上可知；

②当时，同理可得.

综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，

分别是，，，或.

2．对于给定的两个向量a和b，定义运算，.

（1）已知，，，求，并说明其几何意义.

（2）设，，求.

（3）在平行六面体中，侧棱与底面所成的角为，底面四边形中较小的内角为，，且该六面体所有棱长之和为，求该六面体体积的最大值.

答案：（1），其几何意义为的面积

（2）

（3）

解析：（1）由题意，得，，，

且，，，

.

，其几何意义为的面积.

（2），，，

，

.

（3）设平行六面体一个顶点引出的三条棱长分别为a，b，c，不妨设棱a，b的夹角为，侧棱长为c，则，即.

由（1）知底面面积，高，

.

，当且仅当时取等号，且当时，，

.

故该六面体体积的最大值为.

3．[2024届·山东滨州·二模]定义：函数满足对于任意不同的，，都有，则称为上的“k类函数”.

（1）若，判断是否为上的“2类函数”；

（2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；

（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.

答案：（1）为上的“2类函数”

（2）

（3）证明见详解

解析：（1）对于任意不同的，，不妨设，即，

则，

所以为上的“2类函数”.

（2）因为为上的“3类函数”，

对于任意不同的，，不妨设，

则恒成立，

可得，

即，均恒成立，

构建，，则，

由可知在内单调递增，

可知在内恒成立，即在内恒成立；

同理可得：内恒成立；

即在内恒成立，

又因为，即，

整理得，可得，

即在内恒成立，

令，

因为，在内单调递增，则在内单调递增，

当，；当，；可知，

可得在内恒成立，

构建，，则，

当时，；当时，；

可知在内单调递增，在内单调递减，则，

构建，，则在内恒成立，

可知在内单调递减，则；

可得，所以实数a的取值范围为.

（3）（i）当，可得，符合题意；

（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，

①若，则；

②若，则

；

综上所述：，，.

4．[2024届·吉林通化·模拟考试校考]已知椭圆的离心率为，且过点.若斜率为的直线与椭圆E相切于点T，过直线上异于点T的一点P，作斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，定义为点P处的切割比，记为.

（1）求E的方程；

（2）证明：与点P的坐标无关；

（3）若，且（O为坐标原点），则当时，求直线的方程.

答案：（1）

（2）证明见解析

（3）或

解析：（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意知，，

所以，解得.

又椭圆E过点，所以，结合，解得，，

所以E的方程为.

（2）设点，直线的方程为，

由消去y，得（*），

，

由直线与椭圆E相切，得.

设切点，

则，，

所以.

设，，由（*）式同理可得

，，

所以

，

易知，点在椭圆E外，所以，所以，

.

结合与的表达式知，要想与点P的坐标无关，需要从的表达式中分离出，

由，得，

即.

因为

.

所以，

所以.

所以，与点P的坐标无关.

（3）由（2）得，，

所以，

因为，所以①.

又，所以②，由①②解得或（舍去）.

所以直线OT的方程为，

由解得或

故切点T的坐标为或.

所以直线的方程为或.

5．设满足以下两个条件的有穷数列，，…，为阶“曼德拉数列”：

①；②.

（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.

（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.

（3）记n阶“曼德拉数列”的前k项和为，若存在，使，试问：数列能否为n阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

答案：（1）或

（2）

（3）数列不为n阶“曼德拉数