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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（7）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．[2024届·河北秦皇岛·模拟考试校考]“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为n的所有正因数之和.

（1）判断28是否为完全数，并说明理由.

（2）已知，若为质数，证明：为完全数.

（3）已知，求，的值.

答案：（1）28是完全数

（2）见解析

（3）；

解析：（1）28的所有正因数为1，2，4，7，14，28，

因为，所以28是完全数.

（2）证明：的正因数为，，，，，，，，，，

，

所以为完全数.

（3）的正因数为，，，…，，，，，…，，…，，，，…，，

所以.

因为，

所以

.

2．设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”

（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？

（2）若N为偶数，证明：数列，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中

（3）如果，且对于任意，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.

答案：（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列

（2）证明见解析

（3）12873

解析：（1）由不为整数，

可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；

数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，

则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列.

（2）证明：若N为偶数，设，

考虑1，2，3，…，k这k项，其和为.

所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；

若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，…，，，；

这k项，其和为，

所以这k项的算术平均数为：，

此数不是整数；

故数列A：1，2，3，4，…，N不是“k阶平衡数列”，其中；

（3）在数列A中任意两项，，，

对于任意，在A中任意取两项，，相异的项，

并设这项和为.由题意可得，都是k的倍数，

即，，（p，q为整数），可得，

即数列中任意两项之差都是k的倍数，，

因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，…，的倍数，

如果数列A的项数超过8，

那么，，…，均为2，3，4，5，6，7的倍数，

即，，…，均为420的倍数，

（420为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），

，

即，这与矛盾，

故数列A的项数至多7项.

数列A的项数为7，

那么，，…，均为2，3，4，5，6的倍数，

即，，…，均为60的倍数，

（60为2，3，4，5，6的最小公倍数），

又，且，

所以，，…，，

所以，

当且仅当，取得最大值12873；

验证可得此数列为“k阶平衡数列”，，

如果数列的项数小于或等于6，由，

可得数列中所有项的之和小于或等于，

综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873.

3．多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c…等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为时，y变化为，记为y对a的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则y随着a的增大而增大；反之，已知，则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），

（1）写出和的表达式；

（2）已知方程有两实根，，.

①求出a的取值范围；

②证明，并写出随a的变化趋势.

答案：（1），

（2）①；②证明见解析，随a增大而减小

解析：（1）设，

则，

同理.

（2）①由（1），可得，则，

且时，，，，

即单调递减，时，即单调递增，

故，

又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，

故，，因此只需且，

即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；

②由，

由①可得，，故只需证明，

令，设，

则，且，

则，

又单调递增，且，故，单调递增，则，

必然，否则即单调递减，不符合题意，

，故原命题成立.

所以随a增大而减小.

4．[2024届·安徽阜阳·模拟考试联考]如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形ABCD内接于椭圆，其中点A，B分别在第三、四象限，边AD，BC与x轴的交点为，.

（1）若，且，为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；

（2）若是椭圆E的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形ABCD和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；

（3）若ABCD是边长为1的正方形，边AB，CD与y轴的交点为，，设（，，…，）是正方形ABCD内部的100个点，记，其中，2，3，4.证明：，，，中至少有两个小于81.

答案：（1）；（2）证明见解析，定值为；（3）证明见解析

解析：（1）依题意，，，