部编数学八年级上册全等变化模型四三垂直模型（解析版）含答案.pdfVIP

全等变化模型四三垂直模型

【模型展示】

【模型图解】

【模型条件】【模型结论】

图1BCAED,ABECBCABDC

图2ABCCAFD,ABBCABCDEC

图3ABCABEAHD,ABBC,BCADBE

图4ABCCAED,ABBCABDEDC

图5ABCDAED,ABBCAEEDDC

图6ABCEBDC,ABBCCDDEAE

【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明

【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点

旋转而得；

从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形

一组非对应角互余即可得全等。

【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）

【模型总结】

①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；

②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；

③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。

【模型巩固】

【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝

1cm，求DE的长．

【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC＝∠E＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠BCE＝∠CAD，

在△BCE和△CAD中，

，

∴△BCE≌△CADAAS），

∴CD＝BE＝1cm），CE＝AD＝2.5cm），

∴DE＝＝2.5﹣1＝1.5cm）．

【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过

顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交BC

于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．

1）求证：CE＝BF；

2）求证：AC+CO＝AB．

【解答】证明：1）∵AE⊥MN，BF⊥MN，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠EAC+∠ECA＝∠FCB+∠ECA＝90°．

∴∠EAC＝∠FCB．

在△AEC和△CFB中，

，

∴△AEC≌△CFBAAS），

∴CE＝BF；

2）∵∠ACB＝90°，AG⊥BG，

∴∠CAO＝∠CBD．

在△ACO和△BCD中，

，

∴△ACO≌△BCDASA），

∴CO＝CD．

∴AC+CO＝AC+CD＝AD．

∵AG平分∠CAB，AG⊥BG，

∴∠D＝∠ABD．

∴AD＝AB．

综上，AC+CO＝AB．

【例4-3】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝

90°．

1）求证：AB+CD＝BC．

如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．

2）求证：点P是B