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材料力学关于压杆稳定性问题
杆件稳定性
材料力学称长度远大于横截面尺寸的构件为杆,杆的基本几何特
征为横截面与轴线,根据轴线是否弯曲分直杆与曲杆,根据截面是否
变化分等截面杆与变截面杆。将轴线为直线且截面沿轴线不发生变化
的杆称之为直杆。杆件的基本力学行为是拉伸与压缩,一开始就学到
这个。而标题所谓的压杆,即受到压缩作用的等截面直杆,它的长度
尺寸远大于横截面尺寸,且截面是圆形。
前面做过杆件的拉伸压缩试验,其中在压缩脆性材料时候和塑性
材料得出不同的结论。做试验用的都是短的杆,得到如下现象:
工程存在一些细长的杆件,受到压缩时,首先是弯曲而非断裂。
由此得出的结论是刚度差,而非强度不足。如果撤掉作用在杆轴线方
向外压力时,杆件能够恢复初始构形,则称这种状态为稳定状态。而
如果处在轴向外压力作用时且受到一个微小的横向扰动,撤掉外载荷
以后杆件无法恢复初始构形,则称杆件为不稳定状态。可能这么说的
不够形象,周老师书籍列举了一个十分优秀的例子,如下所示:
上图球在12区间,撤掉扰动以后,球可以回到初始状态。球在23
区间,受到扰动以后会有一个新的位置,区间内力等于临界载荷。到
达3点,结构是失稳的,扰动导致球向下滚落。在34区间会快速通过
到达一个新的平衡位置,称为后屈曲。
杆件无论是否能够恢复至初始构形,它都是平衡的,但是有的平
衡是稳定的,如刚才说的它能恢复初始未受扰动的状态,有的平衡是
不稳定的,如受到扰动以后不再恢复到扰动前。杆的平衡状态是否稳
定与外载荷有关,亦与结构自身特征有关,因为同一结构下,不同载
荷可能会使结构处于稳定平衡,也可能使平衡不稳定。而同一载荷,
不同的结构,有的结构在此载荷下能够保持稳定的平衡,有的无法保
持。在压杆一节说到,能使压杆保持稳定平衡状态的最大轴向外载荷,
或者说能够使结构变得不稳定平衡的最小轴向载荷,称之为临界载荷,
对应的应力称之为临界应力。结构丧失稳定平衡状态所需的最小临界
应力并不一定高于材料的比例极限。即在线弹性范围内,结构就有可
能发生失稳。这句话暗含,结构的临界应力比材料的比例极限,对于
压杆设计更加有用,所以压杆设计以稳定性为基准。
下图是受压杆件一些常见的结构:
欧拉压杆计算(弹性失稳压杆)
材料力学里面提到的压杆指的是欧拉压杆,常见的推导计算过程
如下,无需记忆具体是如何推导的,需要理解其中一些问题:
在推导压杆临界压力的过程中“微小变形的,挠曲线近似微分方
程”,那么也就相当于给出了欧拉临界压杆计算公式的假设条件为:
小变形、细长杆。
假设条件是符合材料力学的基本设定的。我们在学习梁时,也曾
注意到细长这个问题,当时提到对于跨高比大于一定值的梁采用材料
力学近似计算方法相比弹性力学误差是极小的,而工程中实际结构梁
一般都满足这个跨高比。弹性力学计算是考虑了横截面的剪切应变,
材料力学是忽略掉了,前者对应的是Timoshenko梁,后者对应欧拉
伯努利梁。至于这里提到的小变形主要事关杆件刚度评定问题,杆件
的变形分为横向与纵向,横向转动与纵向收缩。在小变形情况下(材
料力学范畴),通常忽略纵向收缩变形量,而如果是大变形问题,纵
向收缩便不可忽略。材料力学要求是线弹性,因此欧拉临界应力应该
是小于材料的比例极限的。如果超过了比例极限,则挠曲线方程不满
足要求。
其次在建立挠曲线方程过程中,我们是假设杆件是在平面内弯曲,
实际上对于一个空间构件来讲,它的弯曲方向有很多种,且与干的约
束情况有关。
最后一点,材料力学的对象是理想均质弹性体。实际材料很难做
到均质,并且也不可能都是线弹性本构关系。所以实际受压时,可能
尚未达到理想(理论)临界载荷就已经发生失稳,因此不可避免的又
要从安全系数考虑这一部分,只是在做实验时候,我们应该清楚存在
这样的差异。
上图是一些简单支撑边界下,欧拉临界力理论计算。我们发现,
边界支撑刚性大的,临界力大,即承载能力强。
欧拉临界载荷计算公式的适用范围通常采用柔度来评估。比较杆
的细长比与由杆件本身属性所确定的一个特定参数:
λ表示细长比,μ表示由约束条件确定的长度系数,亦说当量长度
系数,i则是压杆横截面对中性轴的惯性半径。
注意,欧拉杆是圆形截面杆,不是其他截面。因此上面的公式实
际上可以进一步转化:
根
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