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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（2）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．[2024届·长郡中学·模拟考试]集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A和B，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.

（1）已知集合，，，若，求x的值；

（2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；

（3）若A与B都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合A与B中的元素是两个公差相等的等差数列.

答案：（1）4

（2）见解析

（3）见解析

解析：（1）由题：，

所以，，且，2，6，

从而，，，故.

（2）若，，，，使，其中，，，，

则，故，.

，

，

.

（3）设集合，，其中，.

则，

这里共个不同元素，又，所以上面为合集中的所有元素.

又，这里共个不同元素，也为合集中的所有元素，所以有，即.

一般地，由，，

可得，即.

同理可得，得证.

2．设有n维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交.设为全体由-1和1构成的n元数组对应的向量的集合.

（1）若，写出一个向量，使得.

（2）令.若，证明：为偶数.

（3）若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例.

答案：（1）

（2）证明见解析

（3）见解析

解析：（1）（答案不唯一）.

（2）证明：对于，，2，…，n，存在，

，，，使得.

当时，；当时，.

令.

所以.

所以为偶数.

（3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即.

不妨取，，，，则有，，，，，.

若存在，使，则或或.

当时，；当时，；当时，，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.

3．若对任意实数k，b都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”.设函数，a，.

（1）讨论函数的单调性.

（2）已知函数为“恒切函数”.

①求实数p的取值范围；

②当p取最大值时，若函数为“恒切函数”，求证：.（参考数据：）

答案：（1）当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增

（2）①；②

解析：（1），

当时，恒成立，函数在R上单调递减；

当时，由得，由得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，

设切点为，则且，即，.

因为函数为“恒切函数”，

所以存在，使得，，

，得，.

设，

则，由，得，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，

从而，故实数p的取值范围为.

②由①知当p取最大值时，，，

故，，

因为函数为“恒切函数”，

故存在，使得，，

由得，即.

设，

则，由得，由得，

故在上单调递减，在上单调递增.

在单调递增区间上，，故，则由，得.

在单调递减区间上，，

，故在区间上存在唯一的，使得，，

此时由，得，

函数在上单调递增，且，，故.

综上，.

4．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）.一般而言，空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点.平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式.

（2）设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q（点Q不与F的顶点重合）.若，，试求出点Q所有可能的坐标.

答案：（1）

（2）Q的坐标可能为或

解析：（1）设C上任意一点，，光线从点N至点的光程为，光线穿过凸透镜后从T点折射到点的光程为，

则，，

由题意得，得，化简得，

，.

令，得，

为双曲线的一部分，解析式为.

（2）由题意知.

设，，，，则，，，

，，，

易知，，得，，

即，.

将点A的坐标代入，得，

化简整理得.

同理可得，

与为方程的两个解，

.

由题知，，解得，

点Q的坐标可能为或.

5．设数列的各项为互不相等的正整数，前n项和为，称满足条件“对任意的m，，均有”的数列为“好”数列.

（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明.

（2）已知数列为“好”数列，其前n项和为.

①若，求数列的通项公式；

②若，且对任意给定的正整数p，，有，，成等比数列，求证：.

答案：（1）数列不是“好”数列，证明见解析

（2）①；②证明见解析

解析：（1）设，的前n项和分别为，，若，则，

所以，

而，

所