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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（8）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．[2024届·甘肃酒泉·模拟考试]十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．

（1）记，求证：；

（2）记为整数n的二进制表达式中的0的个数，如，．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求（用数字作答）．

答案：（1）证明见解析；

（2）（ⅰ）5；（ⅱ）3280

解析：（1）因为，

，

，

，

；

（2）（ⅰ），

；

（ⅱ），

，故从到中，

有、、…、共8个，

有个，由，即共有个，

有个，由，即共有个，

……，

有个，

.

2．设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.

（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：

（i），（ii）；

（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围；

（3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.

答案：（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析

（2）

（3）

解析：（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；

函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.

（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，

令，所以，

设，

所以，由可知恒成立，

所以在区间上单调递增，

若满足谷点，则有，解得，

故m的取值范围是.

（3）因为，

所以，

若恒成立，

则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；

因此关于x的方程有两个相异实根，即，

设两根为，且，

因为，所以函数在区间上不为严格增，

但是当时，，为严格增，

所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，

同理，因为，所以，

因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，

从而函数的含谷区间必满足，

即，

因为，

，

由得，所以，

由得，所以，

所以，

当时，，

当时，，

因此的最小值为，当，时成立.

3．[2024届·江苏·二模]如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.

(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；

(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；

(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

答案：(1)相等，证明见解析

(2)证明见解析

(3)存在，3

解析：(1)第1行最后两数，第2行的最后两数.

第m()行的第m个数为，第个数为，

猜测：，

即证：，

法一：因为，

只要证明，该式显然成立，

所以，

所以每行最后两个数相等.

法二：

因为

；

又因为

.

即：.

所以每一行的最后两个数相等.

(2)第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，

此时结论成立.

因为，

第m()行的个数之和为：

.

而第行倒数第二个数为，

由(1)得每行最后两个相等，所以结论得证.

(3)当，时，，，当时，此时显然不成立.

猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3.

下证：当时，恒成立.

由(1)知，，则，

因为

.

又，当时，.

当时，，所以.

综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立.

4．[2024届·江苏泰州·模拟考试]在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,直线l与相切,与圆相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,.

（1）求的方程;

（2）对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.

(i)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求;

(ii)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:.

答案：（1）;

（2）(i);

(ii)证明见解析.

解析：（1）因为当l垂直于x轴时,,而直线与相切,则,解得,

又椭圆的离心率为,则椭圆的半焦距,,

所以的方程为.

（2）(i)当l的斜率存在时,设l的方程为:,

由消去y得:,

由直线l与椭圆相切,得,整理得,

于是圆心O到直线l的距离,

则的面积为,

设,,求导得,

当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,

因此当时,取得最大值,此时,

当的斜率不存在时,由（1）知,,

由,得,则.

对于线段AB上任意点E,连接OE并延长与圆O