高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.3函数的奇偶性、周期性、对称性(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

2.3函数的奇偶性、周期性、对称性

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f?(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．与函数周期有关的结论：

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则函数的周期为2a；

(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则函数的周期为2a；

(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；

(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；

(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；

(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；

(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

4、函数对称性（异号对称）

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

①；

②；

③

（2）点对称：若函数关于点对称，则

①

②

③

（3）点对称：若函数关于点对称，则

①

②

③

【题型精讲】

【题型一判断函数奇偶性的两种方法】

必备技巧判断函数的奇偶性

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

例1(安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝xlg(x＋eq\r(x2＋1))；②f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；

③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1?x0?，,x2＋2x－1?x0?；))④f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).

例2(2023·江苏·高三单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（???????）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【题型精练】

1.(2023·广东高三模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A． B． C． D．

2．(2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()

A．|g(x)|是偶函数 B．f(x)g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数

3.(2023·山东高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（）

A． B．

C． D．

【题型二函数奇偶性的四种应用】

方法技巧函数奇偶性的四种应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．

(2)抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.

(3)已知奇函数+M，，则

1.

2．

例3(2023·福建高三学业考试）设为奇函数，且当时，，则当时，

A． B． C． D．

例4(2023·河南洛阳·三模）若函数是偶函数，则（???????）

A．-1 B．0 C．1 D．

例5(2023·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．

例6(2023·河南·西平县高级中学模拟预测）已知函数，且，则（???????）

A．2 B．3 C．－2 D．－3

【题型精练】

1．(2023·四川凉山·高三期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.

2.(2023·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（???????）

A． B．

C