高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.8极值点、拐点偏移问题(精练)(原卷版+解析).docxVIP

3.8极值点、拐点偏移问题

【题型解读】

【题型一极值点偏移解法赏析】

1.(2023·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝lnx－ax有两个零点x1，x2．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x1·x2e2．

2．（2023·全国·高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【题型二加法型极值点偏移】

1.(2023·山东青岛高三期末）已知函数f(x)＝x－1＋aex．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x24．

2．(2023·天津市南开中学月考）设函数．

（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．

3.(2023·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝x－alnx

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)若方程有2个不等的实根，证明：.

【题型三乘法型极值点偏移】

1.(2023·河南高三期末）已知函数(，)有两个不同的零点，．

(1)求的最值；

(2)证明：．

2．(2023·广东·高三期末）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个零点，．

①求的取值范围；②证明：．

【题型四导数型极值点偏移】

1.(2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a＞0，证明：当0＜x＜eq\f(1,a)时，f(eq\f(1,a)＋x)＞f(eq\f(1,a)－x)；

(3)若函数y＝f(x)的图象与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f?(x0)＜0．

2.(2023·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝lnx－ax＋1有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：f′(x1·x2)1－a．

【题型五拐点偏移问题】

1.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数，．

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．

3.8极值点、拐点偏移问题

【题型解读】

【题型一极值点偏移解法赏析】

1.(2023·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝lnx－ax有两个零点x1，x2．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x1·x2e2．

【解析】(1)f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x0)，

①若a≤0，则f′(x)0，不符合题意；

②若a0，令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(1,a)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))时，f′(x)0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0．

由题意知f(x)＝lnx－ax的极大值f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝lneq\f(1,a)－10，解得0aeq\f(1,e)．

所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))．

(2)法一：对称化构造法1

由x1，x2是方程f(x)＝0的两个不同实根得a＝eq\f(lnx,x)，令g(x)＝eq\f(lnx,x)，g(x1)＝g(x2)，

由于g′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，因此，g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，

设1x1ex2，需证明x1x2e2，只需证明x1eq\f(e2,x2)∈(1，e)，只需证明f(x1)f(eq\f(e2,x2))，

即f(x2)f(eq\f(e2,x2))，即f(x2)－f(eq\f(e2,x2))0．

令h(x)＝f(x)－f(eq\f(e2,x))(x∈(1，e))，h′(x)＝eq\f((1－lnx)(e2－x2),x2e2)0．

故h(x)在(1，e)上单调递增，故h(x)h(0)＝0．即f(x)f(eq\f(e2,x))，令x＝x1，则f(x2)＝f(x1)f(eq\f(e2,x1))

因为x2，eq\f(e2,x1)∈(e，＋∞)，f(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以x1eq\f(e2,x2)，即x1x2e2．

对称化构造法2

由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知lnx1，lnx2是方程x＝aex的两根．

令t1＝lnx1，t2＝lnx2．设g(x)＝xe－x，则g(t1)＝g(t2)，从而x